2. В Природе и человеческой практике чаще встречаются три фазы движения материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная.
3. В ускоренной фазе движения материального объекта, сила инерции препятствует его движению.
4. В фазе равномерного движения сила инерции направлена в сторону движения и является силой, способствующей равномерному движению объекта.
5. В фазе замедленного движения сила инерции, является главной силой, движущей объект, который постепенно останавливается, так как силы сопротивления движению больше силы инерции.
6. Невозможно составить единую математическую модель, описывающую одновременно все три фазы движения материального объекта.
7. Современный уровень знаний позволяет корректно описать все три фазы движения материального объекта только порознь.
3. Механодинамика криволинейного движения материальной точки
3.1 Механодинамика ускоренного криволинейного движения точки
Криволинейное движение точки описывается обычно в естественной системе координат, имеющей нормальную ось , касательную ось и бинормаль (рис. 7). При этом плоскость называется соприкасающейся плоскостью. Ось перпендикулярна соприкасающейся плоскости. Скорость точки направлена в сторону движения.
Рис. 7. Схема сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и ускоренно
Обратим особое внимание на то, что направления сил, действующих на тело или точку, движущиеся криволинейно (рис. 7) и направления ускорений, генерируемых приложенными силами, зависят от наличия или отсутствия связей и их реакций. Роль связи может выполнять нить, направленная к центру кривизны траектории вдоль нормальной оси , или реакция внешней среды, действующей на точку или тело и таким образом искривляющая её траекторию. Роль такой среды может выполнять воздух, действующий, например, на самолет или вода, действующая на объект, движущийся в воде или по её поверхности.
Отсутствие реакций связей, действующих на криволинейно движущиеся точку или тело или прекращение их действия (обрыв нити) автоматически меняет схему сил, приложенных к такой точке или телу и, как следствие, схему ускорений и замедлений. Поэтому, рассматривая криволинейное движение точки или тела, обязательно надо учитывать наличие связей и их реакций.
Рассмотрим вначале ускоренное криволинейное движение точки при наличии связей и их реакций. Поскольку движение криволинейное, то при наличии связей нормальная составляющая полного ускорения всегда направлена в сторону вогнутости кривой (рис. 7). Направление касательной составляющей полного ускорения зависит от характера криволинейного движения. Если оно ускоренное, то направления касательного ускорения и вектора скорости совпадают (рис. 7).
При ускоренном криволинейном движении на материальную точку действует ньютоновская (движущая сила) , сумма сил сопротивления , направленная противоположно движению, касательная и нормальная составляющие полной силы инерции .
Вектор ньютоновской силы направлен вдоль вектора полного ускорения в сторону вогнутости кривой. Он раскладывается на две составляющие: нормальную и касательную . Поскольку касательная сила инерции направлена противоположно ускорению и генерирует замедление , то нормальная составляющая силы инерции всегда направлена от центра кривизны траектории вдоль радиуса кривизны.Таким образом, уравнение сил, действующих на материальную точку вдоль касательной к криволинейной траектории, запишется так
. (23)
Или, согласно принципу механодинамики можем записать
. (24)
Как видно, уравнения (23) и (24) аналогичны уравнениям сил (7) и (8), действующих на ускоренно движущееся тело при прямолинейном движении. Для решения этого уравнения необходимо знать ускорение и замедление . Чтобы определить их надо знать, прежде всего, уравнение движения точки. В рассматриваемом случае оно задаётся в естественной форме
. (25)
Зная уравнение движения точки (25), находим её скорость
(26)
и касательное ускорение
. (27)
Модуль нормального ускорения определяется по формуле
, (28)
где - радиус кривизны траектории.
Модуль инерциального замедления можно определить только в том случае, когда будет известна сумма сил сопротивлений , действующих на точку. Величина определяется экспериментально. Зная её, находим замедление , формируемое касательной составляющей силы инерции (рис. 7).
(29)
Из этого уравнения следует, что замедление , приходящееся на долю сил сопротивления , равно
(30)
или
(31)
Таким образом, новые законы механодинамики позволяют корректно описать процесс криволинейного ускоренного движения материальной точки. Приступим к описанию равномерного криволинейного движения точки.
3.2 Механодинамика равномерного криволинейного движения точки
При равномерном криволинейном движении точки касательное ускорение равно нулю, но касательная сила инерции , действовавшая на точку в период, когда она двигалась ускоренно перед переходом к равномерному движению, никуда не исчезает. Она изменяет своё направление на противоположное (рис. 8). В результате сумма касательных сил, действующих на материальную точку, запишется так
. (32)
Напомним, что сумма сил сопротивлений движению точки - величина экспериментальная. Так как скорость криволинейного движения точки в этом случае - величина постоянная , то касательная составляющая её полного ускорения равна нулю и остаётся одно нормальное ускорение , и противоположно направленная центробежная сила инерции (рис. 8).
Физическая суть уравнения (32) заключается в следующем. Движущая касательная сила преодолевает все сопротивления движению , а сила инерции движет точку равномерно.
Рис. 8. Схема сил, действующих на материальную точку при равномерном криволинейном движении
Таким образом, имеется вся информация, необходимая для определения сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и равномерно.
3.3 Механодинамика замедленного криволинейного движения точки
При переходе материальной точки от равномерного к замедленному криволинейному движению касательная составляющая движущей силы исчезает. Остаётся касательная составляющая силы инерции и сумма сил сопротивлений движению, которая генерирует замедление (рис. 9).
Поскольку сумма сил сопротивления движению больше касательной силы инерции , которая не генерирует ускорение, то замедление , соответствующее силе и совпадающее с её направлением, формирует вместе с нормальной составляющей ускорения полное замедление , направленное с левой стороны нормальной оси (рис. 9). Одинаковая размерность ускорения и замедления даёт нам право складывать их геометрически (рис. 9).
При переходе точки к замедленному движению сумма сил сопротивления движению оказывается больше силы инерции и движение точки постепенно замедляется.
Новые знания по механодинамике позволяют определить точно силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формулы (32). Если определяются силы сопротивления движению точки, то делать это надо только при её равномерном движении.
Рис. 9. Схема сил, действующих на точку при её криволинейном замедленном движении
Если же сумму сил сопротивления движению точки определять при её ускоренном движении, то, в соответствии с формулами (23) и (32), сила инерции , препятствующая ускоренному движению точки, автоматически войдёт в сумму сил сопротивления движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.
Ньютоновская или движущая сила при криволинейном движении определятся по основному закону Ньютона
. (33)
Полное ньютоновское ускорение , связано с её нормальной и касательной составляющими простой зависимостью
, (34)
поэтому, если известны проекции и ускорения, то это позволяет определить полное ускорение .
Отметим, что если радиус кривизны траектории движения точки постоянен , то всё описанное относится и к движению точки по окружности.
4. Сложное движение материальной точки
Из кинематики известно, что в общем случае абсолютное ускорение точки равно (рис. 10)
(35)
где - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис. 10).
Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (35) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки, это уравнение (35) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции.
С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления , также как и ускорения, - величины векторные.
Переносное ускорение будет формировать переносную силу инерции , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так .
Относительное ускорение будет формировать относительную силу инерции . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом .
Так как кориолисова сила имеет инерциальную природу, то она тоже формирует замедление , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о том, что кориолисова сила инерции равна произведению массы точки на кориолисово ускорение и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисово ускорение и кориолисово замедление направлены в противоположные стороны.
Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют силы сопротивления, которые также формируют замедление её движению. Обозначим результирующую этих сил так , а результирующее замедление, формируемое силами сопротивления, через . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так
(36)
Рис. 10. Схема к анализу сложного движения точки
Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид
(37)
Из этого следует
(38)
Тогда общее уравнение механодинамики относительного движения материальной точки становится таким
(39)
Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (38) и относительном (39) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения точки на подвижные оси координат равны:
(40)
и проектируя векторное уравнение (39) на эти оси, имеем:
; (41)
; (42)
. (43)
Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме.
Следующий этап - использование этого уравнения для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти случаи.
1 - ускоренные переносное и относительное движения точки;
2 - ускоренное переносное и равномерное относительное движение точки;
3 - ускоренное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;
4 - равномерное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;
5 - равномерное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;
6 - равномерное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;
7 - замедленное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;
8 - замедленное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;
9 - замедленное переносное и замедленное относительное движение материальной точки.
Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением:
1 - подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае и , поэтому в общем виде имеем
(44)
2 - подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: и , поэтому
; (45)
3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то, очевидно, что , поэтому
; (46)
Пример - 1. Составить уравнения сил, действующих на ползун, движущийся по вращающемуся стержню в горизонтальной плоскости так, как показано на схеме (рис. 11).
Напомним, что вращение стержня называется переносным движением, скорость ползуна в этом движении - переносной скоростью , ускорение - переносным ускорением , сила, вращающая ползун, - переносной силой .
Движение ползуна вдоль стержня называется относительным движением, скорость - относительной скоростью , ускорение - относительным ускорением и сила, движущая ползун вдоль стержня, - относительной силой (рис. 11).
Рис. 11. Схема сил, действующих на ползун М
Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 11), обратим внимание на жёсткую связь между вращательным (переносным) движением ползуна и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная и относительная скорости связаны друг с другом. Такая же жёсткая связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 11).