Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим
(213)
Ещё раз напомним о том, что появление ускорения в уравнении механодинамики автоматически рождает необходимость присутствия в нём силы инерции. Подставив результат (213) в уравнение (212), имеем
(214)
Это уравнение движения центра масс системы.
Следовательно, теорема о движении центра масс системы и теорема об изменении количества движения системы представляют по существу две разные формы одной и той же теоремы.
В ряде задач, например, при изучении движения жидкости или газа, понятие о центре масс теряет смысл, и тогда пользуются теоремой об изменении количества движения.
Практическая важность теоремы об изменении количества движения системы заключается в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы, например, силы давления друг на друга частиц жидкости.
Пример. Струя жидкости диаметром со скоростью направлена на стену. Определить силу воздействия струи жидкости на стену, если eё плотность равна (рис. 49).
Рис. 49. К анализу количества движения системы
Учитывая, что сумма внутренних сил, действующих между частицами жидкости, равна нулю, обозначим реакцию стены на действие струи жидкости через . Тогда, используя теорему об изменении количества движения системы (жидкости), имеем
Секундный (=1) расход жидкости будет равен
, поэтому
9.11 Закон сохранения количества движения механической системы
Если сумма внешних сил и сил инерции, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению. Действительно, если , то из следует, что Обратим внимание на то, что в этом случае механическая система движется равномерно.
Если сумма проекций всех действующих на систему внешних сил и сил инерции на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная. Из этого следует
Следствие закона. Внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.
9.12 Главный момент количества движения механической системы
Главным моментом количества движения системы (или кинетическим моментом) относительно данного центра O называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра
(215)
Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:
(216)
где - проекции вектора на оси координат.
Количество движения системы - главная характеристика ее поступательного движения.
Главный момент количества движения системы - главная характеристика вращательного движения системы.
Чтобы уяснить механический смысл , вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 50).
Рис. 50. К определению кинетического момента вращающегося тела
Для любой точки Количество движения Момент количества движения относительно оси OZ равен
(217)
Главный момент количества движения системы относительно оси Кинетический момент (главный момент) вращающегося тела относительно оси OZ вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.
Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то очевидно, что
Сравнивая формулы и , видим, что - масса тела, величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении; - момент инерции тела относительно оси OZ - величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.
9.13 Теорема об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.
(218)
где - равнодействующая внешних сил, - равнодействующая внутренних сил.
Учитывая что , а также то, что и то, что по свойству внутренних сил , получим
(219)
Это уравнение выражает теорему моментов для механической системы. Проектируя обе части полученного уравнения на оси координат, получим:
(220)
Эти уравнения выражают теорему моментов относительно координатных осей. Практическая ценность теоремы моментов состоит в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения системы, позволяет при изучении вращательного движения исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.
9.14 Теорема моментов относительно центра масс
Эта теорема используется при изучении сложного движения. Пусть OX, OY, OZ - неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система с центром масс C. Свяжем с центром масс C подвижную систему CX', CY' и CZ' так, чтобы она перемещалась по отношению к неподвижной системе поступательно с ускорением (рис. 51).
На рис. 51 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид
(221)
На рис. 51 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид
(222)
Рис. 51. К теореме моментов относительно центра масс механической системы
По свойству внутренних сил , а переносная сила инерции . Так как подвижные оси перемещаются поступательно, то , поэтому Так как то после подстановки получим
Остается только сумма моментов от внешних сил и уравнение (221) принимает вид
(223)
Итак, доказана теорема: Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно поступательно движущегося ее центра масс C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра. То есть теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.
9.15 Закон сохранения главного момента количества движения системы
Он вытекает как следствие из теоремы моментов. Пусть сумма моментов относительно центра O всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю . Тогда из уравнения
(224)
следует, что и закон формулируется так:
Если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к данной системе внешних сил равна нулю, то главный момент количества движения этой системы относительного этого центра будет численно и по направлению постоянен.
Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно какой-нибудь оси OZ равна нулю, то есть, тогда из уравнения
следует, что и закон формулируется так:
Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.
Эти два следствия выражают общий закон сохранения главного момента количества движения системы.
Пример. Вращение тела с изменяющимся моментом инерции относительно оси OZ (например, фигурист). Закон гласит: если , то
(225)
Значит, при увеличении за счет внутренних сил будет уменьшаться, и наоборот.
9.16 Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина , равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы
(226)
Главное отличие кинетической энергии системы от количества движения системы и момента количества движения в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и положительной, поэтому она не зависит от направления движения частей системы и не характеризует этих направлений. Но вместе с тем на изменение кинетической энергии системы влияет изменение не только внешних, но и внутренних сил.
9.17 Кинетическая энергия тела при разных видах его движения
Поступательное движение тела. При поступательном движении тела все его точки имеют одинаковые скорости , поэтому
(227)
Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси OZ с угловой скоростью , то скорость любой его точки на расстоянии от оси и кинетическая энергия
(228)
Плоскопараллельное движение (рис. 52).
(229)
где - момент инерции системы (тела) относительно оси, проходящей через мгновенный центр P вращения. Так как положение P все время меняется, то введем постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С. Тогда на основании теоремы Гюйгенса Так как P - мгновенный центр скоростей, то - скорость центра масс. Окончательно имеем
(230)
Рис. 52. К определению кинетической энергии при плоскопараллельном движении твердого тела
При плоскопараллельном движении тела его кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенному с кинетической энергией вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр вращения и перпендикулярной к плоскости движения.
Общий случай движения. Если за полюс взять центр масс C тела, то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного движения со скоростью и вращения вокруг мгновенной оси CP, проходящей через этот полюс (рис. 53). Для i-ой точки имеем
(231)
Рис. 53. К расчету кинетической энергии тела для общего случая его движения
При этом - абсолютная скорость i - ой точки. Тогда и
(232)
Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Учитывая, что и и то, что , имеем
Тогда
(233)
Но
Так как ось вращения CP проходит через центр масс тела, то величина количества движения, получаемого телом при вращении относительно оси CP, проходящей через центр масс тела, равна нулю. Поэтому окончательно имеем
(234)
Кинетическая энергия тела в общем случае движения равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.
9.18 Теорема об изменении кинетической энергии системы
Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Для i-той точки системы имеем
где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил.
Складывая элементарные работы всех сил, действующих на точки системы, имеем
(235)
Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав это равенство в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где она становится равной , будем иметь
(236)
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Всегда ли надо учитывать работу внутренних сил системы при определении ее кинетической энергии? Ответ зависит от вида связей системы.
Система с неизменяемыми связями имеет такие связи, при которых расстояния между точками системы не изменяются. Для такой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и
(237)
Примером такой системы является абсолютно твердое тело.
Система с идеальными связями. Если система имеет связи, то внешние и внутренние силы могут быть активными и реакциями связей. Тогда
(238)
где - элементарная работа действующих на i-ю точку внешних и внутренних активных сил; - элементарная работа внешних и внутренних реакций связей.
Внешние и внутренние связи механической системы будут идеальными, если .
Таким образом, если сумма работ всех реакций связей при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Примером идеальных связей являются неизменяемые связи и связи без трения.