Материал: Лекция 1 по СМ для ФЭМТО 2021

3.Внутренниесилы

При деформации тела изменяется взаимодействие между его ча-стицами.Силывзаимодействия,возникающиемеждучастямителаприего деформировании, называютсявнутренними силами.

Дляопределениявнутреннихсилприменяетсяметодсечений,который заключается в следующем. Находящееся в равновесии поддействиемсистемывнешнихсилпризматическоетело(рис.1.7а)рас-секается(мысленно)плоскостью,перпендикулярнойкпродольнойоси,надвечасти.Однаизчастейотбрасываетсяирассматриваетсяравновесиеоставшейсячасти.Действиеотброшеннойчастинаостав-шуюсязаменяетсянекоторымираспределеннымипосечениюсилами.Какизвестно,системасилможетбытьприведенакглавномувекторуиглавномумоменту.Распределенные посечениюсилызаменяются

_R M

F

F

3

^Fn ^F_n

F₂

а б

Рис.7.Призматическоетело (а);егоотсеченнаячасть(б)

^{ихравнодействующими:главнымвекторомRиглавныммоментом}

M^{(рис.1.7б).}

Вводится ортогональная система координат, так чтобы осьОzсовпадала с продольной осью тела, а осиОxиОy– расположены в по-^{перечном сечении. Главный векторRи главный моментMраскла-дываются}насоставляющие,которыеназываютсявнутреннимисилами.

В общем случае в поперечном сечении будут действовать шесть^{сил:N–продольнаясила(проекциявектораRнаправленнаяпооси}

Оz);

Q_x^,Qy

^{–поперечныесилы(проекциивектораRнаправленные}

поосямОx,Оy);T–крутящиймомент(проекциямоментаMотно-

сительноосиОz);

M_x,M_y

–изгибающиемоменты(проекциимомен-

^{таMотносительноосейОx,Оy).}

_My ^y F₃

Нарис.1.8показаны

Q_у

T _{N О}

внутренниесилыN,

Q_x^,

F_n ^Qy

z _Q

инаправлениядействия

x

^Mx ^x

изгибающих и крутящего

моментовM_x,M_y,Т.

Рис.1.8.Внутренниесилывсечении

Таккакрассматриваемаячастьтеланаходитсявравновесии,тодолжны выполнятьсяшесть уравнений равновесия:

_Fix0;

_Fiy0;

_Fiz0;

_mix0;

_miy0;

_miz0.

Из этихуравненийможноопределитьN,Q_xQy,M_x,M_y,Т.

Для наглядного представления о распределении внутренних силпо длине стержня строят графики внутренних сил, которые называютэпюрамивнутренних сил.

Отметим,чтовдальнейшем,прирассмотрениидеформациистержней, как и в методе сечений, будет использоваться ортогональ-ная система координат, осьОzкоторой совпадает с продольной осьюстержня,а осиОxиОyрасположены впоперечномсечении.

Понятияо напряжениях

Используяметодсечений,рассечемпризматическоетелона2частиирассмотримоднуизэтихчастей.Выделимнаплоскостисече-

нияплощадкуA,накоторойбудетдействоватьвнутренняясилаR

(рис.1.9).

z

Рис.1.9.Внутренняясилавсечении

Напряжениеявляетсяинтенсивностьювнутреннейсилывточ-ках сечениятела.

Величинаотношения

R_р

называетсясреднимнапряжени-

_A cp

емна площадкеA.УстремивAк нулю, получим вектор

^рlim

R_,

A0A

которыйназываетсяполнымнапряжениемв точке(рис.1.10).

y

_у





_z О ^х

x

Рис.1.10.Напряжениявсечении

В общем случаернаправлено под некоторымугломк нор-малиплоскостисечения.Проекцияполногонапряжениянанормальк

сечениюназываетсянормальнымнапряжениемвточке:pcos.

Проекцияполногонапряжениянаплоскостьсеченияназываетсяка-

сательнымнапряжениемв точке:psin(рис. 1.10).

Нормальные напряжениясвязаны с деформацией, при кото-ройчастицыматериаластремятсяотдалитьсядруготдругаили,наоборот,сблизиться.

Касательные напряжениясвязаны со сдвигом частиц в плос-кости рассматриваемого сечения.

Касательноенапряжениеможетбытьразложенопонаправлени-

ямосейОxиОyнасоставляющие_x

и_y

(см.рис.1.10).Следова-

тельно,влюбойточкесечениядеформируемоготелавозникаютнор-мальные^{и касательные}_x,_yнапряжения.

Напряжения связаны с действующими в сечении внутреннимисилами. Для установления этой взаимосвязи, около некоторой точки скоординатами(х,у)выделимэлементарнуюплощадкуdA.Действую-

щиепоэтойплощадкенапряжения,

элементарныесилы

_x^,_y

(см.рис.1.10),создают

dN=dA,

^dQx=х^dA,

^dQy=у^dA

иэлементарныемоментыотносительноосейкоординат

dM_xdAy^,

dM_ydAx,

dT_y.dAx_x.dAy.

Суммируявсеэлементарныесилыимоменты,действующиевсечении,получимследующие интегральные зависимости:

N_dA;

A

M_{x}ydA;

A

гдеА–площадьсечения.

Q_x_xdA;

A

M_{y}xdA;

A

Q_y_ydA;

A

Т_(_yx_zy)dA,

A

(1.1)

Формулы(1)определяютзависимостьвнутреннихсилN,Q_x

Q_y,M_x,M_y,Тотнапряжений,_x,_y.

Понятияоперемещенияхидеформациях

Под действием внешнихсил любое тело деформирует-ся, его форма и размерыиз-меняются.

Выделимвтеле

y

^с1

с

dу_{1 α1}

dy

^а1

α

^в1

dx₁

бесконечномалыеотрезкиавиас,параллельныеосямко-ординатОхиОу, длинойdхиdу(рис. 1.11).

^а dх ^в

_О х

Рис.1.11Деформациииперемещенияэлементарныхотрезков

^{После деформирования тела точкаапереместится в точкуа}1^{.Величинааа}1^{называетсялинейным перемещениемточкиа. Проекцияотрезкааа}1^{на оси координатОхиОуобозначим черезuиv. Эти вели-чины называются перемещениями точек тела в направлении осей ко-}ординат.

Последеформацииотрезкиавиасзаймутновыеположения

а_1в1и

а_1с1

Ихдлиныизменятсяистанутравными

dx₁dxdx,

dy₁dydy.ВеличиныΔdхиΔdуназываютсяабсолютнымилиней-ными деформациями.

Отношениеизменениядлиныотрезкакегоначальнойдлине

называетсяотносительнойлинейнойдеформацией.Относительная

деформациявнаправленииосиОхравна_x

^dх,анаправленииоси

dх

Оу–

_dy_.

^y dy

Уголмежду отрезкамиавивспоследеформацииизменитсяи

^{станетравным}₁

Изменениеэтогоугла

_ху₁

–называется

угловойдеформацией.

В любой точке тела можно выделить отрезкиdx,dy,dzпарал-лельные осям координат и определить перемещенияu,v,w, линейныедеформации_x,_y,_z, а также изменения углов между этими отрезка-ми–угловыедеформации_xy,_xz,_yz.

Совокупностьперемещенийu,v,w,линейных

_x,_y,_z

иугло-

вых

^xy^,xz^,yz

деформацийопределяетдеформированноесостояние

тела в точке.

Правила знаковдлянапряженийи внутреннихсил

Особенностьразделамеханики«Сопротивлениематериалов»состоит в том, что в этом разделе рассматривается деформированноесостояние твердых тел и используется метод сечений. Поэтому, воз-никаетнеобходимостьвведенияправилазнаковдлянапряженийивнутреннихсил.

Так,еслиприиспользованииметодасеченийразделитьстер-женьнадвечасти,тонаповерхностисечениякаждойизчастейбудут

^{действоватьнапряжения,}_х^,_у

у

(рис.12) равные по величине и

х

_у

^О _х у

_ z _{ х}



О _z

у

_а б

Рис.1.12Напряжениявсечениях

противоположно направленные. Они будут равны по величине и про-тивоположнонаправлены,т.к.при совмещенииразделенныхчастейэтинапряжениядолжны взаимно компенсироваться.

Возникающие в теле напряжения связаны с деформациями. Про-тивоположно направленные на разделенных частях тела напряжениясвязаны с одинаковой деформацией. Например, на рис. 1.12 напряже-нияпротивоположно направлены, но «вызывают» одинаковую де-формацию растяжения стержнявместепроведенного сечения.

Указанныеособенностиопределяютнеобходимостьвведенияправила знаков для напряжений,из которых следуютправила знаков идля внутренних сил.

Как и в методе сечений используем систему координат, осьОzкоторой, перпендикулярна к плоскости сечения, а осиОх,Оу– распо -ложены всечении.

Примем следующие правила знаков для нормальных и касатель-ныхнапряжений:

1. Нормальное напряжениесчитается положительным,ес-ли оно направлено отсечения, т.е. вызываетрастяжение.

2. Всечении,нормальккоторомунаправленавсторонуосиОz,

положительныекасательныенапряжения

ленииосейОх,Оу(рис.1.12а).

_х^,

_{удействуют}направ-

3. Всечении,нормальккоторомунаправленавсторонупроти-

воположнуюосиОz,положительныекасательныенапряжения

_х^,

_у действуютвнаправлениях,противоположныхосямОх,Оу

(рис.1.12б).

Аналогичныеутверждениясправедливыидлявнутреннихсил.Еслиразделитьстерженьнадвечасти,тонаповерхностяхкаждойиз

частейбудутдействоватьвнутренниесилыN,

Q_x,

Q_y,

M_x,

^My,T

равныепо величинеипротивоположно направленные(рис. 1.13).

х

^Му _у

Т

^Мx_х

N