Материал: Лекция 7-05
11.10.Линейные (инерционные) преобразования случайного процесса.
Линейная инерционная система – это линейный фильтр.
В этом случае процесс на выходе системы у(t1) зависит от входного процесса x не только в момент времени t1, но и от значений x в предшествующие и последующие моменты времени:
y(t) x( )g(t )d
|
|
|
y(t) выходной |
случайный |
процесс |
x( ) входной |
случайный |
процесс |
g(t ) импульсная реакция линейной цепи
1.Если процесс на входе ЛЭЦ нормальный, то у тоже нормальный случайный процесс, но его числовые характеристики отличаются от числовых характеристик процесса x и вычисляются следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
m1y |
y(t) |
|
x( ) |
g(t )d m2 y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m2 y y(t2 ) |
x( )g(t )d |
x(v)g(t v)dv |
|
g(t )g(t v)d dv |
||||||||
x( )x(v) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Если процесс на входе ЛЭЦ не нормальный, но ширина его спектра значительно больше полосы пропускания линейной цепи x Плэц , то
процесс на выходе ЛЭЦ имеет тенденцию к нормализации.
12.Функция корреляции.
Функция корреляции характеризует степень статистической зависимости двух значений случайного процесса, разделенных интервалом времени .
Общее определение – функция корреляции случайного процесса B(t1,t2) это второй смешанный момент распределения случайного процесса:
B(t1 , t2 ) x(t1 ) x(t2 )W (x(t1 ); x(t2 ))dx(t1 )dx(t2 )
(12.1)
Для эргодического стационарного случайного процесса с нулеым средним функция корреляции зависит только от разности =(t2-t1) и определяется выражением:
26
|
|
|
T |
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
B( ) lim |
|
x(t) x(t )dt |
(12.2) |
|||||
|
||||||||
T T |
|
T |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Стандартный вид функции корреляции.
В( )
В(0)
Рис.12.1.
- к |
0 |
к |
|
1.В( ) - четная; В( ) = В(- )
2.В(0) - max; В(0) = 2 (средняя мощность переменной составляющей, т.е. дисперсия случайного процесса).
3. |
|
lim |
B( ) 0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( )d |
|
|
||
4. k |
|
0 |
|
|
интервал корреляции |
случайного процесса, |
|
|
B(0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
характеризует ширину графика функции корреляции: |
|||||||
Если | | к - то значения СП коррелированны, |
|
||||||
|
Если |
| | > к - то значения СП не коррелированны. |
|||||
|
5. R( ) = В( ) / В(0) - коэффициент корреляции, |
R( ) 1. |
|||||
13.Энергетический спектр.
Энергетическим спектром G( ) называется зависимость энергии составляющих случайного процесса от частоты.Стандартный вид энергетического спектра:
27
G( )
Рис.13.1.
0 |
|
Пэ
Энергетический спектр показывает, какая энергия процесса заключена в единичной полосе частот, т.е. это энергия процесса, приходящаяся на 1Гц или на 1 рад/с. Размерность G( ) --- В2/Гц или В2/ рад*Гц
Пэ - ширина энергетического спектра,т.е. полоса частот, в пределах которой заключено порядка 95 - 99,9 энергии всего процесса. Она обратно пропорциональна интервалу корреляции
const
ПЭ k ;
const 3 6- зависит от ограничений накладываемых на сигнал .
14.Соотношение Винера - Хинчина и его применение к решению задач
Это соотношение связывает функцию корреляции и энергетический спектр случайного процесса. В теории случайных процессов это соотношение аналогично преобразованию Фурье для детерминированных процессов:
|
|
|
|
G( ) 4 B( ) cos( )d |
|
||
|
0 |
|
(14.1) |
|
1 |
|
|
|
|
||
B( ) |
G( ) cos( )d |
|
|
2 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты могут быть и другими.
В теории связи, в качестве модели помехи, часто используется случайный процесс, называемый аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ). Белым шумом (АБГШ) называется абсолютно случайный (дикий) процесс, энергетический спектр которого бесконечен и равномерен.
28
G( )
G0 |
|
Рис.14.1. |
0
G( ) = G0 при 0
G0 - спектральная плотность белого шума (мощность, приходящаяся на 1Гц или 1рад/с) .
Мощность белого шума в полосе частот ( в рад/с ) :
P = G0*
Пример белого шума - это тепловой шум. Функция корреляции белого шума вычисляется в соответствии с преобразованием Винера-Хинчина:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
cos(w )dw |
|
||
B( ) |
G(w) cos(w )dw |
G0 cos(w )dw G0 |
0 |
|
|
G0 ( ) |
||
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
2 |
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
( )
Функция корреляции белого шума имеет следующий вид:
В( )
G0 ( )
Рис.14.2.
0 |
|
Рассмотрим прохождение белого шума через полосовой фильтр. На входе идеального полосового фильтра с АЧХ равной :
|
|
|
0 |
|
|
Пэ |
|
|
|
|
|||||
k0 |
при |
|
|
|
|||
|
2 |
||||||
|
|
|
|||||
k( ) |
|
|
|
|
|
|
Пэ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
при |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
29
действует нормальный белый шум со спектральной плотностью G0. Определим функцию корреляции и ФПВ процесса y на выходе фильтра;
т.е. В( )вых и W(y) .
Спектр белого шума на входе фильтра показан на рис.14.1.
АЧХ полосового фильтра показана на рис. 14.3, а спектр процесса на выходе полосового фильтра изображен на рис.14.4.
К( )
К0
0 ( 0 -Пэ/2) |
0 |
( 0 +Пэ/2) |
|
Рис.14.3
G( )вых
G0К02
0 ( 0 -Пэ/2) |
0 |
( 0 +Пэ/2) |
|
|
|
|
Рис.14.4. |
Спектральная плотность белого шума на выходе ПФ: G( )вых = G0К02, т.к. АЧХ показывает во сколько раз изменится амплитуда напряжения, следовательно, энергия изменится в К02 раз. В соответствии с соотношением Винера - Хинчина, зная G( )вых найдем В( )вых. :
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
П э |
|
|
|
0 |
|
П э |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
э |
|
|||||||||
B( )вых |
|
|
|
|
G( )вых cos d |
|
G0 K0 |
2 cos d |
G0 K0 |
2 2sin |
cos 0 |
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
П э |
|
|
|
П э |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
K 2 |
G |
|
|
sin |
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
э |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30