Материал: Лекция 7-05
4. Рассчитаем ФПВ дискретного случайного процесса y(t), заданного таблицей. Временная диаграмма этого процесса имеет следующий вид:
Для дискретного процесса ФПВ может быть записана с помощью - функции:
W(x)=p(+1) (x-1)+p(0) (x)+p(-1) (x+1);
В формуле р(+1)-вероятность того, что процесс принимает значение +1. Для заданного процесса эта вероятность равна 3/5=0.6.
16
Вформуле р(0)-вероятность того, что процесс принимает значение 0. Для заданного процесса эта вероятность равна 1/5=0.2.
Вформуле р(-1)-вероятность того, что процесс принимает значение -1. Для заданного процесса эта вероятность равна 1/5=0.2.
Врезультате получим:
W(x)= 0.6 (x-1) + 0.2 (x) + 0.2 (x+1);
На рисунке показана рассчитанная ФПВ.
ФРВ -- это интеграл от ФПВ. Интеграл от дельта – функции имеет вид:
b |
0, если b a; |
||
|
|||
(x a) |
a; |
||
|
1, если b |
||
Интегрируя ФПВ, получим: |
|
|
|
|
0, если : x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
0.2, если : 1 x 0; |
||
F (x) |
|
||
|
0.4, если : 0 x |
1; |
|
|
1, если : x 1; |
|
|
|
|
|
|
График ФРВ имеет вид:
Рассчитаем числовые характеристики дискретного случайного процесса. Среднее значение y(t): m1=p(-1)*(-1)+p(0)*(0)+p(1)*1=0.2*(-1)+0.2*0+0.6*1=0.4в;
Полная средняя мощность (второй начальный момент): m2=p(-1)*(-1)2 +p(0)*(0)2 +p(1)*12=0.2*(1)+0.2*0+0.6*1=0.8в2;
Дисперсия процесса (средняя мощность переменной составляющей
процесса):
2=m2 – m12 =0.8 – 0.42 =0.64 в2.
17
11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса.
Случайный процесс y(t) = Um(t) cos ( 0t+ (t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота 0. Um(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;
(t) - фаза случайного процесса.
Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена равномерно (см. выше).
u(t)
Рис.11.9.
t
Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:
U 2
W (Um ) Um2 e 2 m2 ; Um 0
W(Um)
з-н Релея
з-н Райса |
Рис.11.10. |
0
Um
Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):
18
|
|
|
|
(U 2 |
A2 ) |
|
|
|
Um |
|
m |
|
Um A |
||||
2 2 |
||||||||
W (Um ) |
|
e |
|
|
|
* I0 ( |
|
) закон Райса. |
2 |
|
|
|
2 |
||||
I0(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.
11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.
Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число, не равное 0.
Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.
x(t)
а
T1 
Т2 |
t |
Рис.11.11 |
b
T1+T2=T
Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации. Для всех х ≠ а и х ≠b ФПВ равна 0. Для х=а и х=b получим:
W (x) lim ( |
P(а 0.5 x x а 0.5 x) |
|
P(b 0.5 x x b 0.5 x) |
) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
T1 |
|
|
|
T2 |
|
|
|
||||
W (x) lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
/ x |
|
/ x |
|
|
||||||||
x 0 |
T |
|
|
x 0 |
T |
|
|
|
|
||||
T1/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение а.
T2/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение b.
W (x ) |
T1 |
lim |
1 |
(если x a) |
T2 |
lim |
1 |
(если x b) |
T1 |
(x a) |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
T x 0 |
x |
|
T x 0 x |
|
T |
||||
|
|
|
||||||||
TT2 (x b)
19
ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:
W(x)
|
T2 |
(x b) |
|
|
|
|
T1 |
(x a) |
|
T |
|
|
|
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
Рис.11.12. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 0 |
a |
x |
||
|
|
0, x a |
|
|
|
0, x b |
||
(x a) |
a |
(x b) |
||||||
|
|
, x |
|
|
|
, x b |
||
ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид:
|
x |
|
если x b, то |
|
|
x b |
|
T2 |
|
||||
F (x) W (x)dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
F (x) 0 |
|
|
x a |
T |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x T |
(x a)dx |
|
x a |
|
T |
|
T |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
T |
|
|
T |
T |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x b |
|
|
|
T |
|
F ( x) 2 , b x a |
|
T |
|
1, x a |
|
|
|
F(x) |
|
1 |
|
T2/T1 |
|
|
Рис.11.13. |
|
t |
b |
a |
Вычислим числовые характеристики двоичного дискретного случайного |
|
процесса, принимающего 2 значения: |
|
20