Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

Отсюда, возведя в квадрат обе части уравнений и складывая отдельно левые и правые части, получим:

Траектория движения точки представляет эллипс с полуосями 2 и 4 с центром в точке с координатами (0,6) (рис. 8.9).

Рис. 8.9

2. В момент времени точка находится в положении с координатами: ; , т.е. (8.2).

Определим проекции скорости точки :

При получим:

; .

Модуль скорости при будет:

Отсюда следует, что точка движется по траектории по часовой стрелке. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

3. Определим проекции ускорения:

,

.

При проекции ускорений будут:

,

.

Модуль ускорения:

,

.

Определим касательное ускорение точки при .

Так как ,

.

Тогда .

Вследствие того, что ,

.

Отсюда:

.

Подставляя численные значения, получим:

.

Нормальное ускорение точки в данный момент времени:

,

.

Радиус кривизны в точке при будет:

,

.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение скорости точки при различных способах задания движения?

2. Определение ускорения точки при различных способах задания движения?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 11.1 – 11.18, 12.1 – 12.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 9 Поступательное движение твердого тела

В кинематике рассматривается, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояние между любыми двумя точками остается постоянным.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рис. 9.1

Из рис. 9.1 видно, что

Продифференцируем это уравнение по времени:

.

Так как постоянный по величине и по направлению, тогда

, отсюда следует, что .

Это означает, что скорости любых точек тела в данный момент одинаковые. Продифференцируем последнее равенство:

или .

Это означает, что ускорения любых точек твердого тела при поступательном движении одинаковые в данный момент времени.

Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными.

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Все точки твердого тела, принадлежащие оси АВ остаются неподвижными, а все остальные точки описывают окружности.

Для определения положения твердого тела проведем неподвижную плоскость I и плоскость II, связанную с вращающимся телом. Положение тела будет определяться углом φ, образованным между неподвижной и подвижной плоскостями и назовем его углом поворота тела. Угол φ измеряется в радианах. для определения положения тела в любой момент времени необходимо знать зависимость угла φ от времени, т.е.

, (9.1)

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет равна:

.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремиться значение при стремящемуся к нулю:

, (9.2)

Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 9.3).

а) б)

Рис. 9.3

Таким образом, угловая скорость определяет изменение угла поворота тела в единицу времени. Размерность угловой скорости [с^-1].

Угловым ускорением называется величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени:

, (9.3)

Размерность углового ускорения [с^-2].

Если модуль угловой скорости возрастает со временем, то вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным. При ускоренном движении векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону (рис. 9.3а), при замедленном движении – в противоположные стороны (рис. 9.3б).

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения A_z. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение , тогда скорость точки будет равна:

или . (9.4)

Таким образом, скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точке М окружности.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае . Подставляя значение V из формулы (9.4), получим:

; .

После преобразований получим:

; . (9.5)

Рассмотрим сечение твердого тела: точка М совершает движение по окружности (рис. 9.4) (движение ускоренное).

Рис. 9.4

Ускорение точки М будет равно:

,