Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

Рис. 10.7

Для определения мгновенного центра скоростей в данном случае необходимо из точки А восстановить линию а, перпендикулярную направлению вектора , а из точки В восстановить линию в, перпендикулярную направлению вектора скорости . Точка пересечения линий а и в является мгновенным центром скоростей для данного тела в этот момент времени. Таким образом, точка Р является м.ц.с. и поэтому скорость этой точки равна нулю в данный момент времени.

Если точку Р взять за полюс, то по формуле (10.2):

, так как .

Учитывая соотношение (10.3) получим

, ( )

, ( ),

отсюда следует:

, (10.4)

Некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижное, то точка касания Р является мгновенным центром скоростей (рис. 10.8а).

а) б) в)

Рис. 4.8

2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек равны V_A и параллельны ей. Следовательно, все точки тела имеют одинаковую скорость по величине и направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное движение. Угловая скорость тела в этот момент равна нулю (рис. 10.8б).

3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением показанным на рис. 10.8в.

Пример 1. (16.17).

Определить скорость точки к механизма, изображенного на рис. 4.9 если известно, что ОА = 20см, АВ = ВО₁, <ВАО₁ = 30⁰, угловая скорость кривошипа ОА = 2с^-1. Точка к является серединой звена ВО₁.

Решение

Рис. 10.9

Точка к принадлежит звену ВО₁. Звено ВО₁ вращается вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому направление вектора скорости в точке к будет перпендикулярно направлению звена ВО₁.

Так как угловая скорость кривошипа известна, то скорость в точке А будет равна:

.

Вектор скорости будет перпендикулярен к ОА, так как кривошип вращается вокруг неподвижного центра О.

Направление вектора скорости в точке В известно: вектор скорости будет перпендикулярен ВО₁.

Точки А и В принадлежат звену АВ: в точке А известны направление и модуль скорости; в точке В известно направление вектора скорости. Поэтому можно построить мгновенный центр скоростей для звена АВ. Для этого проводим через точку А линию, перпендикулярную направлению вектора , а через точку В проведем линию, перпендикулярную направлению вектора . Точка пересечения этих линий – Р является м.ц.с. для звена АВ в данный момент времени.

Используя соотношение (10.4) получим:

, отсюда следует, что

.

Из треугольника АРВ вследствие того, что <РАВ = 60⁰ и <РВА = 60⁰ следует, что данный треугольник равносторонний.

Поэтому РВ = РА, а это значит, что , т.е.

.

Так как О₁ – центр вращения звена ВО₁, поэтому точка О₁ является м.ц.с. для этого звена. Так как точка к является серединой звена ВО₁, то:

, или:

см/с.;

см/с.

Ответ: см/с.

Пример 2. (16.22).

Определить направления и значения скоростей точек обода колеса в положении I, II, III, IV, если колесо радиуса R = 0,5м катится без скольжения со скоростью V₀ = 10 м/с (рис. 10.10).

Решение

Рис. 10.10

1. Определим скорость точки обода колеса в положении I. Так как точка МI принадлежит одновременно колесу и неподвижной плоскости, по которой это колесо перемещается, то эта точка является м.ц.с. Следовательно, ее скорость равна нулю, т.е. V₁ = 0.

2. Определим скорость точки М в положении II. Определим направление скорости, для этого соединим точки МI и МII прямой линией и проведем через точку МII линию, перпендикулярную ей. Это будет направление вектора скорости в точке MII. Тогда составим соотношение (10.4):

, отсюда .

Отрезок MIMII из треугольника MIOMII равен , тогда

(м/с).

2. Определим скорость точки М в положении III.

Так как точка MI является м.ц.с., то составим соотношение:

, отсюда ,

тогда (м/с).

3. Определим скорость точки М в положении IV.

Составим соотношение:

, отсюда

(м/с);

м/с.

Ответ: V₁ = 0, м/с, м/с, м/с.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое плоскопараллельное движение твердого тела?

2. Определение скорости тела при плоском движении?

3. Что такое мгновенный центр скоростей твердого тела?

4. Метод построения мгновенного центра скоростей?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 16.1 – 16.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 11 Определение ускорений точек тела при плоском движении

Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:

, где .

Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:

, отсюда следует, что

, (11.1)

где – ускорение точки А (полюс);

– ускорение точки при вращении вокруг точки А.

Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):

Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):

.

Рис. 11.1

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда

, (11.2)