Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

П

а)

б)

Рис. 4.5

о третьему закону Ньютона в шарнире D на балку KD действует система сил R_Dx и R_Dy, а на балку DE система сил противоположная: R’_Dx и R’_Dy, причем модули сил попарно равны, т.е. R_Dx = R_Dx и R_Dy = R_Dy. Это внутренние силы составной балки, поэтому количество неизвестных сил реакции составляет шесть. Для их определения надо составить шесть независимых уравнений состояний равновесия. Возможны следующие варианты составления уравнений состояния.

Составляем условия равновесия для всей конструкции (3 уравнения) и для отдельного элемента этой конструкции: балки KD или балки DE. При составлении уравнений равновесия для всей конструкции внутренние силы не учитываются, так как при суммировании они взаимно уничтожаются.

Уравнения условия равновесия для всей конструкции:

R_Ax – Fcos60⁰ = 0

- Q - R_Ay – Fsin60⁰ + R_B + R_C – P = 0

m_A(F) = Q*m_A – Fsin60⁰*AN + R_B*AB + R_C*AC – P*AE = 0

Уравнения условия равновесия для элемента DE:

R’_Dx = 0

R’_Dy, + R_C – P*DE = 0

M_D(F) = R_C*DC – P*DE = 0

Таким образом составлено шесть независимых уравнений с шестью неизвестными, поэтому система уравнений имеет решение и причем только единственное. Решая систему уравнений определим неизвестные силы реакции.

Вопросы для самоконтроля

1. Три формы уравнений равновесия твердого тела?

2. Составление уравнений равновесия для составной конструкции?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 4.1 – 4.80 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 5. Системы пар и сил в пространстве

Момент силы относительно центра

М омент m₀(F) силы F относительно центра О есть вектор, равный по модулю произведению силы F на плечо h и направлен перпендикулярно плоскости в которой лежат радиус-вектор r и сила F (рис. 5.1):

m

Рис. 5.1

₀(F) = r  F

m ₀(F) = r*F*sin, где  - угол между векторами r и F.

Н аправление вектора m₀(F) будет таким, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против часовой стрелки.

В координатной форме:

m ₀ = r  F = ; откуда m₀ = m_xi + m_yj + m_zk.

М омент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 5.2).

m

Рис. 5.2

₀(F) = m₀(F_xy) =  F_xy*h.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси Z поворот, который сила F_xy стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если наоборот.

Замечания.

1. Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F_xy=0)

2. Если линия действия силы пересекает ось, то момент силы равен нулю (так как h =0)

3. Если сила перпендикулярна к оси, то ее момент относительно этой оси равен произведению силы на расстояния между ними.

П ример 1. Найти моменты относительно осей X, Y и Z сил P и Q, которые действуют на горизонтальную плиту (рис. 5.3).

Решение:

С

Рис. 5.3

ила P параллельна оси Z и перпендикулярна осям X и Y, следовательно:

m _x(P) = -P*CK = ;

m _y(P) = P*CN = ;

m _z(P) = 0.

С проектируем силу Q на плоскость YZ (рис. 5.4):

Q_yz = Q sin, тогда m_x(Q) = Q_yz* b = b * Q * sin.

Относительно оси Y: Q_zx = Q sin, тогда

m _y(Q) = - Q_zx* b = - b * Q * sin.

О

Рис. 5.4

тносительно оси Z: m_Z(Q) = Q_xy* OA = b * Q * cos.

Ответ:

m_x(P) = -P*CK = -P*b/2; m_x(Q) = b * Q * sin

m_y(P) = P*CN = P*a/2; m_y(Q) = - b * Q * sin.

m_z(P) = 0; m_Z(Q) = b * Q * cos.

Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат

Т ак как m_Z(F) = m₀(F_xy) = m₀(F_x) + m₀(F_y). Это следует из теоремы Вариньона.

Момент силы относительно точки О:

m ₀(F) = = (y* F_z – z* F_y)*i – (x* F_z – z* F_x)*j – (x* F_y – y* F_x)*k, где

m _x(F) = y*F_z – z*F_y

m _y(F) = z*F_x – x*F_z тогда: m₀(F) = m_x(F)*i + m_y(F)*j + m_z(F)*k

m_z(F) = x*F_y – y*F_x

Приведение пространственной системы сил к данному центру

П усть на тело действует пространственная система сил и необходимо эту систему сил привести к центру О.

К

а)

б)

Рис. 5.5

аждую силу приводим к центру О. Для этого параллельным переносом начало вектора каждой силы переносим в центр О и добавляем соответствующий момент (рис. 5.5а):

m ₁ = m₀(F₁); m₂ = m₀(F₂); m_n = m₀(F_n);

Получаем новую систему сил, приведенных к центру О: F’₁, F’₂, F’_n и моменты m₁, m₂, m_3.

Систему сил заменяем одной силой R, приложенной в той же точке:

R =  F’_n = F_n.

Систему моментов сил заменяем одним моментом: M₀ = m₀(F_n).

R – главный вектор системы

M₀ – главный момент системы, относительно нового центра О (рис. 5.6).

Т аким образом, любая система сил, действующих на твердое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется главным вектором системы R, приложенным в центре приведения O и одной парой с моментом M₀, равным главному моменту системы относительно центра О.

В аналитической форме:

R_x =  F_nx, R_y =  F_ny, R_z =  F_nz.

M _x = m_x(F_n), M_y = m_y(F_n), M_z = m_z(F_n).

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма их моментов относительно этих осей были равны нулю:

 F_nx = 0; F_ny = 0; F_nz = 0.

 m_x(F_n) = 0; m_y(F_n) = 0; m_z(F_n) = 0.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

Е сли данная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси: пусть R_x =  F_nx, тогда M_x(R) = m_x(F_n).

П

Рис. 5.6

ример 2. На горизонтальный вал лежащий в подшипниках А и В насажены перпендикулярно оси вала шкив радиусом r₁ = 0.2м и барабан r₂ = 0.15м. Вал приводится во вращение ремнем, накинутым на шкив; при этом равномерно поднимается груз массой m=180кг, привязанный к веревке, которая наматывается на барабан (рис. 5.6). Пренебрегая весом вала, барабана и шкива, определить реакции подшипников А и В и натяжение Т₁ ведущей ветви ремня, если известно, что оно вдвое больше, чем Т₂ ведомой ветви. Дано: a = 0.4м; b = 0.6м;  = 30⁰.

Р ешение: по условию задачи, груз P равномерно поднимается, это значит, что вал вращается равномерно и поэтому все силы, действующие на него, находятся в равновесии. С учетом этого составим уравнения равновесия вала. В подшипниках действуют на вал силы реакции R_Az, R_Ay, R_Bz, R_By.

Вычислим проекции всех сил на оси координат и их моменты относительно этих сил.

Fn	F = P	T1	T2	RA	RB
Fny	F cos	T1	T2	RAy	RBy
Fnz	- F sin	0	0	RAz	RBz
mx(Fn)	-F*r2	T1*r1	– T2*r1	0	0
my(Fn)	F*b sin	0	0	0	- (a + b)RBz
mz(Fn)	F*b cos	- T1*a	– T2*a	0	(a + b)RBy