Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

66

67

Лекция 6 апреля 2021 г.

Нормалью к поверхности в точке M0 íàçû- вается нормаль к касательной плоскости к этой поверхности в точке M0.

Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то в силу (20) вектор n = ( fx′ ; fy′ ; 1) является нормалью к поверхности.

Иногда под нормалью к поверхности в точке M0 = (x0; y0; z0) понимают прямую, проходящую через точку M0 перпендикулярно касательной плоскости. Уравнение этой прямой можно записать в

45.Геометрический смысл дифференциал и его применение к приближенным вычислениям

Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке (x0; y0), то ее полное приращение записывается в виде

∆z = dz + ∆x + ∆y:

Геометрический смысл дифференциала заключается в том, что он равен полному приращению, если исходную поверхность заменить на касательную плоскость к заданной поверхности в точке (x0; y0).

Дифференциал, как было сказано, является главной линейной частью приращения, но только оно и остается, если исходная поверхность заменяется на касательную к ней плоскость.

Если приращения аргументов малы, то полное приращение функции мало отличается от дифференциала ∆z dz. Íà ýòîì

свойстве основано применение дифференциала для приближенного вычисления значений функций.

68

Таким образом,

46. Частные производные сложной функции

Теорема 30. Пусть функция z = f(x; y) дифференцируема и заданы функции x = x(t), y = y(t), имеющие производные. Тогда для производной сложной функции справедливо равенство

где и бесконечно малые при ∆x ! 0, ∆y ! 0, а значит, и при ∆t ! 0. Таким образом, получаем

= fx′ x′(t) + fy′ y′(t):

Пример 28. Найти z′(t), åñëè z = e2x 3y, à x = tg t, y = t2 t. По формуле (21) получаем

функции x = x(u; v) è y = y(u; v) имеют частные производные. Тогда для производных сложной функции z(u; v) = f(x(u; v); y(u; v)) справедливы равенства

Тогда из формулы (21) сразу вытекает первое из равенств (22).

69

47. Инвариантность формы I-го дифференциала

Пусть имеется функция z = f(x; y). Ее дифференциал записыва-

åòñÿ â âèäå

dz = fx′ dx + fy′ dy:

Пусть теперь x = x(u; v), y = y(u; v). Рассмотрим дифференциал сложной функции z(u; v) = f(x(u; v); y(u; v)). В силу формул (22) получаем

dz = zu′ du + zv′ dv = (fx′ x′u + fy′ yu′ )du + (fx′ x′v + fy′ yv′ )dv

= fx′ (x′udu + x′vdv) + fy′ (yu′ du + yv′ dv) = fx′ dx + fy′ dy:

Отсюда видно, что форма I-го дифференциала остается неизменной независимо от того, являются ли переменные x, y независимыми

или они зависят от других переменных.

48. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции. Дифференцирование неявной

функции

Определение 30. Говорят, что уравнение F (x; y; z) = 0 определяет неявную функцию z = z(x; y), если при подстановки функции z(x; y) в это уравнение оно становится тождеством.

Не всегда можно в явном виде выразить переменную z из уравнения F (x; y; z) = 0. Тем не менее при некоторых условиях удается доказать существование такой функции.

Теорема 32. Пусть имеется уравнение F (x; y; z) = 0 и выполнены следующие условия.

1.Функция F (x; y; z) непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки (x0; y0; z0).

2.F (x0; y0; z0) = 0.

3.Fz′(x0; y0; z0) ≠ 0.

Тогда в окрестности точки (x0; y0) существует единственная неявная функция z = z(x; y) непрерывная вместе со своими част-

ными производными и такая, что z(x0; y0) = z0. Кроме того, спра- ведливы равенства

Мы не будем доказывать эту теорему, а докажем лишь равенства (23). Продифференцируем по переменной x равенство

F (x; y; z(x; y)) = 0:

Из теоремы о дифференцировании сложной функции (теорема 31)

вытекает, что

Fx′x′x + Fy′yx′ + Fz′zx′ = 0:

70

Тем самым

Fx′ + Fz′zx′ = 0:

Отсюда вытекает первое из равенств (23). Второе получается аналогичным образом при дифференцировании по переменной y.

Пример 29. Найти частные производные неявной функции z = z(x; y), задаваемой уравнением

x2 + y2 + z2 ez 1 = 0

âокрестности точки (1; 1; 0). Имеем

Fx′ = 2x; Fy′ = 2y; Fz′ = 2z ez:

Тем самым

В частности, в точке (1; 1)

zx′ = zy′ = 2:

49. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявной функцией

Рассмотрим функцию трех переменных u = u(x; y; z). Äëÿ ïðåä-

ставления о поведении этой функции полезно бывает исследовать ее поверхности уровня, т.е. поверхности, задаваемые уравнением

u(x; y; z) c = 0:

В предыдущем разделе было выяснено, что такое уравнение задает неявную функцию z = z(x; y), которая при определенных услови-

ях, сформулированных выше имеет частные производные. Поэтому можно написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности

z z0 = zx′ (x x0) + zy′ (y y0):

Подставив выражения для частных производных, получаем