Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

71

50. Градиент функции, его свойства

Определение 31. Градиентом функции u(x; y; z) называется

вектор-функция

grad u = (u′x; u′y; u′z):

Свойства (легко доказываются, исходя из определения).

1.grad C = 0.

2.grad Cu = C grad u.

3.grad(u1 + u2) = grad u1 + grad u2.

4.grad(u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1.

Отметим, что нормаль к поверхности уровня u(x; y; z) = c (см. (24)) совпадает с градиентом функции u(x; y; z)

n= grad u:

51.Производная по направлению ее связь с градиентом

y è z. Но можно рассмотреть скорость изменения функции и по

любому направлению.

Пусть задан вектор l и точка M0. Проведем из точки M0 ëó÷ ïî направлению, задаваемому вектором l.

Ðèñ. 45

Определение 32. Частной производной функции u(M) ïî íà- правлению l в точке M0 называется величина

где точка M лежит на луче, задаваемом вектором l.

Пусть функция u дифференцируема в точке M0 = (x0; y0; z0) è

M= (x0 + ∆x; y0 + ∆y; z0 + ∆z). Тогда

u(M) u(M0) = u′x∆x + u′y∆y + u′z∆z + "1∆x + "2∆y + "3∆z;

В правой части стоит скалярное произведение градиента функции u на орт вектора l. Таким образом,

Пусть имеется функция u = u(x; y; z). В каком направлении у нее наибольший рост? Из формулы (25) получаем

@u

@l = j grad ujjelj cos φ j grad uj;

ãäå φ угол между grad u и вектором l. Отсюда видно, что на-

правление максимального роста функции совпадает с ее градиентом. Иными словами, нормальный вектор к поверхности уровня функции указывает направление ее максимального роста.

73

Лекция 13 апреля 2021 г.

52. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных

Пусть задана функция z = z(x; y). Ее частные производные zx′ è zy′ являются снова функциями двух переменных, и можно рас-

сматривать их частные производные. Так возникают частные производные второго порядка

zxx′′ = (zx′ )′x; zxy′′ = (zx′ )′y; zyx′′ = (zy′ )′x; zyy′′ = (zy′ )′y:

Аналогичным образом определяются частные производные более высоких порядков. Например, zxxy′′′ = (zxx′′ )′y.

Частные производные высших порядков, в которых участвуют разные переменные, называют смешанными. Используют также и такие обозначения

Пример 30. Найти частные производные второго порядка функции z = x2exy + y sin x.

Имеем

zx′ = 2xexy + x2yexy + y cos x = (2x + x2y)exy + y cos x; zy′ = x3exy + sin x:

Далее,

В предыдущем примере оказалось, что zxy′′ = zyx′′ . Это не случай- ное совпадение. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 33. Если у функции z(x; y) смешанные производные вто-

рого порядка непрерывны в некоторой точке, то они совпадают в

этой точке

zxy′′ = zyx′′ :

Пример 31. Пусть у функции u(x; y; z) все смешанные производные до третьего порядка непрерывны. Доказать, что

u′′′xyz = u′′′zxy:

Имеем

u′′′xyz = (u′x)′′yz = (u′x)′′zy = (u′′xz)′y = (u′′zx)′y = u′′′zxy:

74

Напомним, что дифференциал функции z(x; y) имеет вид dz = zx′ ∆x + zy′ ∆y;

ãäå ∆x, ∆y приращения аргументов (можно писать и dx, dy).

Если считать приращения фиксированными числами, то сам дифференциал есть функция двух переменных, и можно снова рассмотреть ее дифференциал. Так мы приходим к понятию второго дифференциала

d2z = d(dz) = d(zx′ ∆x + zy′ ∆y)

= (zx′ ∆x + zy′ ∆y)′x∆x + (zx′ ∆x + zy′ ∆y)′y∆y

= zxx′′ ∆x2 + 2zxy′′ ∆x∆y + zyy′′ ∆y2 (26)

(здесь используется тот факт, что если функция дважды дифференцируема, то смешанные производные второго порядка равны).

В общем случае определение дифференциала n-го порядка тако-

âî

dnz = d(dn 1z):

Для дифференциала третьего порядка получаем следующее выражение

d3z = zxxx′′′ ∆x3 + 3zxxy′′′ ∆x2∆y + 3zxyy′′′ ∆x∆y2 + zyyy′′′ ∆y3:

Здесь легко усматривается аналогия с формулой для суммы в третьей степени. Эта аналогия остается справедливой для любого порядка.

53. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Напомним, что если у функции f(x) в окрестности точки x0 èìå- ются все производные до порядка n + 1 è f(n+1)(x) непрерывна в

этой окрестности, то имеет место равенство (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

f(x0 + ∆x) = f(x0) + f′(x0)∆x + f′′(x0)∆x2 + f′′′(x0)∆x3 1! 2! 3!

+ : : : + f(n)(x0)∆xn + Rn(x); n!

ãäå

Если перенести в этой формуле f(x0) влево и полученное полное приращение функции обозначить через ∆f, то получим формулу Тейлора в дифференциальной форме

75

Пусть теперь f функция двух переменных, и в точке (x0; y0) имеются приращения ∆x è ∆y. Рассмотрим функцию

F (t) = f(x0 + t∆x; y0 + t∆y):

Выпишем для нее формулу Тейлора

Найдем F ′(0). Имеем

F ′(0) = fx′ ∆x + fy′ ∆y = df:

Далее,

F ′′(0) = fxx′′ ∆x2 + 2fxy′′ ∆x∆y + fyy′′ ∆y2 = d2f:

Можно показать, что и в общем случае F (k)(0) = dkf. Таким образом, учитывая, что

Аналогичное выражение полного приращения через дифференциалы имеет место для функций любого числа переменных.

54. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Критические точки

Мы снова остановимся на случае, когда задана функция двух переменных.

Определение 33. Точка (x0; y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x; y), если существует такая окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство

f(x; y) f(x0; y0) (f(x; y) f(x0; y0)):

Определение 34. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума функции.

Теорема 34 (необходимое условие экстремума) . Если функция f(x; y) имеем экстремум в точке (x0; y0) и в этой точке существуют частные производные, то

fx′ (x0; y0) = 0; fy′ (x0; y0) = 0: