Научная работа: Математические упражнения в натуральной философии

Математические упражнения в натуральной философии

Гужеля Ю. А.

«…Никакое человеческое исследование не может претендовать на то,

чтобы быть истинной наукой, если оно не использует математических доказательств и нет никакой уверенности там, где нельзя применить одну из математических наук»

Леонардо да Винчи (1452 - 1519)

1.Введение

Название статьи невольно переносит нас во времена: Галилея, Кеплера, Ньютона, - во времена, когда физику называли натуральной философией и когда формировались основополагающие законы и принципы физики.

В последствии, с некоторыми из этих законов случился конфуз, и их постарались поскорее забыть; другие закономерности пришлось немного подправить (как например 3-й закон Кеплера); зато третьи - утвердились на века в неизменном виде.

В последнем случае, речь идёт о фундаментальных законах механики и небесной механики: законов всем известных, всеми почитаемых и уважаемых, но, по сути, оставленных без серьёзного внимания с тех незапамятных времён, когда их стали считать фундаментальными и абсолютно точными.

Между тем, при ближайшем рассмотрении, можно увидеть существенные методические погрешности, допущенные, в частности: при опытном обосновании Закона всемирного тяготения; при определении гравитационной постоянной; при постановке экспериментов по проверке Закона Кулона (близнеца Закона всемирного тяготения).

Теоретическое обоснование Закона всемирного тяготения и вывод его формулы также выполнены не убедительно.

Поэтому, рассмотрим основы теории Ньютона подробнее, особенно те её места, которые сам Ньютон считал наиболее сложными и сомнительными; проанализируем, накопившиеся за последние столетия, опытные данные, имеющие отношение к механике и к небесной механике.

В математических исследованиях будем (по возможности) придерживаться методов Ньютона; единицы пространства, времени, и массы будем понимать также как и он, то есть в полном соответствии со здравым смыслом.

Эти условия необходимо оговорить сразу, ибо математика не является независимой наукой о природе, и если положения, на которых строится теория, не проверены опытом или не согласуются со здравым смыслом, то и результат математического исследования также будет лишён какого- либо смысла.

Начнём, по сути, с математических упражнений в натуральной философии; в частности, попробуем доказать основную теорему небесной механики. Дело это интересное и само по себе, но, кроме того, в процессе этих упражнений появятся вопросы, на которые непременно захочется найти ответ.

2.Основная теорема небесной механики

погрешность излучение тяготение гравитационный

Математическая формула Ньютоновой гипотезы всемирного тяготения очень проста:

;(1)

Где, - сила притяжения масс M и m;

- гравитационная постоянная;

R - расстояние между центрами масс

Однако сам создатель этой формулы видел, что она охватывает, по крайней мере, два различных класса взаимодействия, это:

- взаимодействие точечных масс;

- взаимодействие точечной массы с большой гравитирующей массой.

Ньютон сомневался в том, что в обоих этих случаях сила взаимодействия будет определяться одной и той же формулой (формулой 1).

Факт этот общеизвестный, например Ричард Фейнман в своих лекциях (см. Л 7, т.5, §7) говорит об этом следующее: «…Одной из самых трудных задач теории гравитационного притяжения является доказательство того, что сила создаваемая твёрдым шаром на его поверхности такая же, как если бы всё вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы».

Далее, Фейнман утверждает, что он доказал эту трудную теорему Ньютона и приводит своё доказательство (см. Л 7, том 2, глава 13, §4). Однако, это его доказательство не слишком убедительно. Фейнман проинтегрировал потенциалы, а не силы, сославшись на то, что с последними много возни. То есть, по существу, доказательство Фейнмана косвенное, но других доказательств (выполненных в привычных для нашего времени математических выражениях), похоже, нет. Так что, если мы хотим убедиться в достоверности теоремы Ньютона, ничего другого не остаётся, как провести самостоятельные выкладки.

2.1. Мысленно разрежем шар на множество тонких концентрических сфер, рассмотрим одну из них и определим напряженность гравитационного поля в центре сферы, в направлении оси Х, со стороны полусферы, см. рис.1

Где, a - радиус сферы;

- толщина сферы; принимаем =1, при условии, что: а>>1

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол (в радианах);

d- приращение угла;

- гравитационная постоянная;

Обозначим:

dV - приращение объёма.

- плотность материала;

dE - напряженность в центре сферы, со стороны полоски dS, в направлении оси Х

Из рисунка видно, что:

dL=dа;

y = aSin;

dS = dL2y ;dS = 2aSind;

dV = dS= dS1 = 2aSind;

Используя формулу обратных квадратов (формулу, 1), при условии, что m = 1, можно записать:

dE =;dE = 2SinCosd;

Интегрируя, получим:

E = 2;

= = = ;

E полусферы = ;(2)

Где, Е полусферы - напряженность в центре сферы, со стороны полусферы, в направлении оси Х.

Примечательно то, что полученное выражение не зависит от радиуса сферы.

2.2 Определим напряжённость на внутренней поверхности сферы (в точке m), со стороны всей сферы, в направлении оси Х, см. рис.2.

Где, а - радиус сферы;

- толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1;

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол, измеряемый в радианах;

- угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d;

m - масса единичного объёма на внутренней поверхности сферы; при а>>1 её можно считать точечной, по сравнению с массой всей сферы;

dV - приращение объёма;

r - расстояние от dS до точки m.

Из рисунка видно, что:

dL=da;dL=2ad;

y=aSin;y=2aSinCos;

dS=dL2y;dS=8aSinCos;

dV=dS1;

dM=dV;

r=2aCos;

Используя закон обратных квадратов, можно записать:

dE=;dE=;

dE=2Sind;

E=2 = 2;

Е внут. пов. сферы =2;(3)

То есть, напряжённость в точке (m) , в направлении оси Х, создаваемая всей внутренней поверхностью сферы (за исключением небольшого, прилегающего к точке m, противоположного участка сферы) вдвое больше, чем напряженность в центре сферы.

2.3 Определим напряжённость вблизи внутренней поверхности сферы (в точке m) со стороны ближайшего участка сферы, в направлении (-Х), см. рис. 3

Где, l - расстояние от точки m до поверхности сферы

При условии, что это расстояние много меньше радиуса сферы (l <<a), ближайший к точке m участок сферы можно представить как бесконечную плоскость.

Из точки касания перпендикуляра l c плоскостью проведём концентрические окружности, см. Рис.3:

Где: dy - ширина кольца;

dS - площадь кольца;

r - расстояние от точки m до кольца;

ц - угол между нормалью и радиус-вектором проведенным из точки m к кольцу, измеряемый в радианах;

dц - приращение угла ц;

Из геометрических соображений, см. рис.3, можно записать:

dS=dy2;

dy=;y=rSinц;

dS=;dS=;

dV=dS=dS;dM=dV = ;

Из закона обратных квадратов, можно записать:

dE=;

Подставляя в эту формулу, полученное ранее, выражение для dM и интегрируя по всей плоскости (при этом, значение угла ц изменяется от 0 до) получим:

Е= = = ;

Е =;(4)

То есть, вблизи внутренней поверхности сферы напряжённость, со стороны ближайшего участка сферы, равна и противоположно направлена напряжённости, со стороны всей сферы.

Другими словами, силы, действующие на точечную массу m, лежащую на внутренней поверхности сферы, уравновешиваются; также как уравновешиваются силы, действующие на точечную массу m, находящуюся в центре сферы (последнее очевидно также и из соображений симметрии).

Осталось выяснить: каково соотношение сил в произвольной точке внутри сферы, расположенной между центром и внутренней поверхностью сферы?

2.4 Определение напряжённостей в произвольной точке m внутри сферы (в направлении оси Х) со стороны правой и левой (большей и меньшей) частей сферы, см. рис.4.

Где, k - коэффициент, характеризующий удаление секущей плоскости (удаление точки m) от центра сферы;

k = R/а; где, R - удаление от центра сферы; а - радиус сферы

r - расстояние от сферической полоски dS до точки m;

r - расстояние от сферической полоски dS до точки m;

ц - угол между осью Х и r;

ц - угол между осью Х и r;

- угол между осью Х и радиусом, проведённым к сферической полоске dS

- угол между осью (-Х) и радиусом - к сферической полоске dS;

- верхний предел , для данного R (для заданного к);

- верхний предел , для данного R; =-;

у - ордината вырезанной сферической полоски dS;

- ордината вырезанной сферической полоски dS;

dL; dL - ширина вырезанных сферических полосок;

- толщина сферы; принимаем =1; при а>>1;

Из рисунка 4 видно, что:

dL=da; где - измеряется в радианах;

у=аSin;

dS=dL2y;dS=2aSind;

dV=dS= dS1 = 2aSind;

dM=dV = 2aSind;dM=2aSind;

y=aSin;

r=y+ (aCos+ka) = y+a(Cos+k) ;

r=a[Sin+ (Cos+k) ];

r=a(Sin + Cos + 2kCos + k);

r=a(1+2kCos + k);

r=a(2kCos + 1+k);

r = a(2kCos + 1+k);

Cos = ;Cos = ;

Cos;

Из формулы обратных квадратов можно записать выражение дифференциала напряжённости в точке m, со стороны большей части сферы (обозначим dE)

dE = ; подставляя сюда выражения: dM; Cos; r, получим:

dE =;

dE =;имея в виду, что

, получим:

dE= -;(5)

Аналогично выводится выражение дифференциала напряжённости в точке m, со стороны меньшей части сферы (обозначим dE)

dE =;

dE= - ;(6)

Интегрируя выражение (5), получим:

(7)

Займемся вычислением интеграла: (8)

Делая подстановку: = u, получим:

- = -;(9)

Обозначим: ; откуда: ;;

;

Подставляя в (9) получим:

-=

= =

-=-;

Делая обратную подстановку: ; , получим:

-=

-;

Подставляя пределы интегрирования, получим:

-; (10)

Из чертежа (см. рис.4) можно записать:

(знак минус взят связи с тем, что уголнаходится во втором квадрате от начала отсчёта)

Подставляя значение в (10), получим:

=

; То есть, интеграл (8) равен:

=; Подставляя значение интеграла в выражение (7), получим выражение напряжённости в точке m, действующей в направлении оси Х, со стороны большей части сферы:

;(11)

Интегрируя обе части выражения (6) - выражения дифференциала напряжённости, действующей со стороны меньшей части сферы - и вынося за знак интеграла постоянные множители, получим:

E =;(12)

Займёмся решением интеграла:

;

Делая подстановки: Cos;1-2kЧCos;

Откуда:;

Получим: = -=

==

===; Делаем обратную подстановку: t=1-2k, получим:

=

Подставляя пределы интегрирования, и учитывая, что , получим:

Подставляя полученное значение интеграла в (12) получим выражение напряжённости в точке m, действующей со стороны меньшей части сферы, в направлении (-Х):

(13)

Сравнивая выражения (11) и (13) видно, что напряжённости, действующие в точке m, со стороны большей и меньшей частей сферы, равны по величине и противоположно направлены. Следовательно, результирующая сила гравитационного притяжения сферы в точке m, находящейся внутри сферы, равна нулю.

Формулы (11) и (13) не определены при k=0 (в центре сферы).

Но напряжённость в центре сферы (при k=0) мы уже определили ранее, она равна: или, что то же самое: ;

Напряжённость на внутренней поверхности сферы (при k=1) мы также определили ранее и получили: ;

Если мы воспользуемся формулами (11) и (13), подставив в них k=1, мы также получим величину: ;

Воспользовавшись формулами (11) и (13) определим величины напряжённостей для нескольких промежуточных точек, лежащих на главной оси, между центром и внутренней поверхностью сферы.

Для k=0,1 получим: 0,501;

Для k=0,2-0,505;

Для k=0,3-0,512;

Для k=0,4-0,522;

Для k=0,5 -;

Для k=0,9-0,696;

Для k=0,95 - 0,762;

Для k=0,98 -0,834;

Для k=0.99 -0,876;

Для k=0,995-0,909;

Для k=0,999-0,979.

Из этой таблицы видно, что величина напряжённости (противоположных направлений) при удалении от центра изменяется слабо и резко возрастает при приближении к поверхности сферы. Результирующая величина напряжённости, при этом, всегда остаётся равной нулю. Но, несомненно, что плотность гравитационного поля внутри сферы увеличивается при приближении к поверхности.

Ньютон также пришёл к выводу, что результирующая напряжённость в любой точке внутри сферы равна нулю. Причём, доказательство Ньютона было более простое и лаконичное, см. рис.5

Он рассмотрел противоположные участки сферы, вырезанные прямыми линиями, проведёнными через точку m, и отметил, что площадки противоположных участков сферы пропорциональны квадрату расстояния до точки m (до пробного тела) и, следовательно, напряжённости, создаваемые этими участками, должны быть равны и противоположно направлены. А, поскольку, всю сферу таким же образом можно разделить на попарно противоположные участки, он сделал вывод о том, что результирующая напряжённость в любой точке внутри сферы всегда равна нулю.