М - наибольшая масса
Если масса m на много порядков меньше массы М, то формула тяготения небесных тел приобретает почти привычный вид:
;(89)
Где, R - расстояние,- примерно равное расстоянию между центрами масс
M и m - уточнённые (действительные) значения масс.
Следует заметить, что формулы (86) (87) (88) и (89) - справедливы для больших расстояний между взаимодействующими телами (для расстояний - несколько десятков радиусов).
Для определения силы тяготения на поверхности небесных тел эти формулы применять нельзя, так как для обратной степенной зависимости (с показателем n>2) основная теорема механики не выполняется - то есть массу небесного тела нельзя «помещать» в его центр, не внося существенных ошибок.
Прежде чем заниматься выводом формулы силы притяжения на поверхности небесных тел, желательно провести простые прямые эксперименты - измерить силу притяжения известной массы на поверхности ближайших небесных тел (Луны и Марса) на пружинных весах.
Полученное значение показателя обратной степенной зависимости (2,17) является приближённым вследствие того, что при определении «n» не учитывались скорости вращения гравитационных полей Луны и Солнца, и окружные скорости гравитационного поля Земли, в точках “L” и “S”, приняты равными, без достаточных на то оснований. Но эти уточнения целесообразно сделать позже, после проведения экспериментов по определению окружной скорости вращения гравитационных полей Земли и Луны, на различных удалениях от поверхности.
Методика проведения этих экспериментов отработана ещё сто лет назад Майкельсоном и Морли, при проведении экспериментов по определению скорости сноса света набегающим эфиром, на поверхности Земли.
С началом космической эры (полвека назад) появились возможности проведения подобных экспериментов на орбите, но эти возможности не были использованы.
Между тем, если на спутнике, обращающимся в экваториальной плоскости Земли, в направлении её вращения, одно плечо интерферометра Майкельсона направить по движению, а другое перпендикулярно движению, то прибор зафиксирует снос скорости света «набегающим» гравитационным полем Земли. Это в случае, если орбитальная скорость спутника больше скорости вращения гравитационного поля Земли. Зная скорость сноса света и орбитальную скорость спутника, легко определить скорость вращения гравитационного поля Земли.
Если же скорости окажутся равными, то прибор ничего не покажет. Этого нулевого эффекта следует ожидать на высоких орбитах. Если окружная скорость гравитационного поля Земли с высотой не меняется, то нулевой эффект проявится на геостационарной орбите. Если же окружная скорость гравитационного поля возрастает при удалении от Земли, то нулевой эффект обнаружится на более удалённых орбитах.
6.3 Сравнение моделей взаимодействия по их приливному эффекту
Пока же, до проведения экспериментов, будем считать, что окружная скорость гравитационного поля Земли в районе точки «L» равна окружной экваториальной скорости Земли (463 м/с). Исходя из этого, определим центростремительное ускорение гравитационного поля Земли, в точке “L”, по формуле:
;(90)
Подставляя значения, получим: (м/с)
(м/с);
Это значение центростремительного ускорения пропорционально центробежной силе, возмущающей гравитационное поле Земли, в точке “L”. Это возмущение передаётся по гравитационному полю, в направлении обратном излучению, и достигает Земли с некоторым опозданием. Тот факт, что приливная волна достигает максимума с запаздыванием примерно в 2,5 часа, после прохождения Луной верхней точки на небосводе, косвенно подтверждает предположение о том, что максимальное возмущение передаётся от точки максимального взаимодействия гравитационных полей (от точки “L”), в направлении обратном излучению.
Ньютон нашёл другое объяснение факту превосходства влияния Луны на морские приливы. Он ошибочно считал, что приливы обусловлены разницей сил притяжения центра и поверхностных водных участков Земли. По Ньютону, это различие сил вызвано различным удалением от центра, возмущающего небесного тела, в частности, Луны. См. рис. 21.
Из рисунка видно, что ближайшая к Луне водная поверхность Земли будет притягиваться Луной сильнее, чем центр. Дальний участок Земной поверхности будет притягиваться слабее, чем центр. В результате, и на ближнем и на дальнем участке будут возникать приливные волны.
По теории Ньютона, ускорение водных масс Луной, на ближней поверхности Земли определится из выражения:
;(91) Подставляя значения, получим:
(м/с2)
а = 0,112 (м/с2);
Сравним полученное значение, с центростремительным ускорением в точке “L”, последнее превышает первое почти на три порядка:
;
Следовательно, приливная волна образуется, в основном, за счёт центробежных сил, возникающих при вращении гравитационного поля Земли относительно гравитационных полей Луны и Солнца.
Вклад Ньютоновой математической модели взаимодействия в образование приливной волны мал, и им можно пренебречь.
7.Электростатика и закон обратных квадратов
7.1 Эксперименты с заряженной сферой
Экспериментальные лабораторные проверки закона обратных квадратов, для случая взаимодействия электрических зарядов на сфере, были проведены, Генри Кавендишем, около 1773 г. Отсутствие поля внутри заряженной сферы, Кавендиш ошибочно связал с законом обратных квадратов для электростатических сил. Вслед за ним, подобные ошибочные умозаключения сделали: Максвелл, Пристли и другие. Сейчас это заблуждение стало всеобщим.
На сегодняшний день, на основании экспериментов с заряженной сферой считается, что показатель степени для R в законе Кулона не может отличаться от 2-х, более чем, на
Если закон Кулона записать в виде:
;(92)
Где: F - сила взаимодействия электрических зарядов;
К - коэффициент пропорциональности. В системе СИ, К=9,0 (вольтм/кулон);
- электрические заряды;
R - расстояние между зарядами.
- отклонение от квадратичной зависимости; ,
то отклонение закона Кулона от обратно квадратичной зависимости будет выражаться величиной , которая, по общему мнению, ничтожно мала
Как видно, формула «закона Кулона», с математической точки зрения, ничем не отличается от формулы Ньютона (от «закона всемирного тяготения»). Поэтому, эксперименты, подтверждающие «закон Кулона», косвенно подтверждают и «закон всемирного тяготения». И наоборот, если у нас появились серьёзные сомнения в выполнимости «закона всемирного тяготения», то это заставляет внимательнее присмотреться и к методике экспериментов по проверке «закона Кулона». И здесь выясняется не мало интересного.
Дело в том, что эксперименты с заряженной сферой являются косвенными экспериментами. Косвенные эксперименты коварны тем, что здесь ещё надо правильно понять результат и сделать из него верные выводы. В этих экспериментах не измеряется сила взаимодействия, и не измеряется расстояние между зарядами; в этих экспериментах проверяется лишь отсутствие электрического поля внутри заряженной сферы. Если электрическое поле внутри сферы не обнаруживается, то этот факт расценивается как строгое выполнение закона обратных квадратов.
Попробуем опровергнуть это глубокое заблуждение, для чего рассмотрим подробнее физический процесс, происходящий внутри сферы, заряженной электричеством.
7.2 Физический процесс, происходящий внутри сферы, заряженной электричеством, см. Рис.2 (которым мы пользовались при рассмотрении гравитационных взаимодействий)
Где, а - радиус сферы;
- толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1;
dL - ширина сферической полоски;
dS - площадь сферической полоски;
- угол, измеряемый в радианах;
- угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d;
r - расстояние от dS до точки «М».
Будем считать, что точка «М», при ближайшем рассмотрении представляет собой единичную площадку, вырезанную в сфере, на которой размещается электрический заряд равный . При условии, что радиус сферы много больше единицы, мы вправе так считать.
Будем считать, что, в начальный момент, вся сфера заряжена равномерно; плотность заряда равна . Электростатическое поле каждого единичного заряда равномерное (силовые линии поля расходятся во все стороны прямолинейно и равномерно). Половина силовых линий каждого единичного заряда направлена внутрь сферы, и часть этих линий попадает в точку «М».
7.3 Определим силу, действующую на единичную поверхность, расположенную в точке «М», при выполнении закона обратных квадратов
Из рисунка видно, что:
dL=da;dL=2ad;
y=aSin;y=2aSinCos;
dS=dL2y;dS=8aSinCos;
Сферическая полоска dS несёт на себе заряд, равный dQ
dQ = dS;
r=2aCos;
Используя закон обратных квадратов, можно записать формулы для: дифференциала силы взаимодействия , между заряженной сферой и зарядом единичной поверхности, размещённой в точке М; и дифференциала напряжённости , то есть силы взаимодействия между заряженной сферой и единичным зарядом, на единичной поверхности, в точке М.
;(93)
;(94)
Подставляя значения и r, в (97) получим:
; сокращая подобные члены, получим:
;интегрируя, получим:
;
;
;(95)
Для сравнения, найдём напряжённость , создаваемую зарядом единичной поверхности сферы, на единичном расстоянии от неё (то есть, в непосредственной близости от внутренней поверхности сферы)
;;(96) отношение найденных напряжённостей равно:
;(97)
Смысл найденного соотношения состоит в следующем:
Напряженность, создаваемая заряженной сферой в непосредственной близости от внутренней поверхности, в какой-либо точке (например, в точке М) в раз превосходит напряжённость единичной поверхности сферы, стягивающейся в точку при условии, что радиус сферы много больше единицы.
На единичной поверхности сферы находится заряд, равный по величине плотности заряда «». Естественно предположить, что на единичной поверхности разместится множество элементарных (единичных) зарядов . И если мы, за единицу расстояния выберем теперь ещё более мелкую единицу, скажем, радиус единичного заряда, то мы, вправе утверждать, что единичный заряд также будет, стянут в точку. И окончательно, можно сформулировать следующее:
На каждый единичный заряд сферы действует сила со стороны всей сферы, в раз превосходящая напряжённость единичного заряда, на единичном расстоянии от него.
И что же будет происходить дальше? Ведь очевидно, что при таком соотношении сил отталкивания, не может быть устойчивого равновесия. Очевидно, что суммарное электростатическое поле всех зарядов сферы будет выталкивать поле единичного заряда (разворачивать силовые линии поля единичного заряда, наружу сферы). Но точку М и единичный заряд в точке М мы выбрали произвольно. Точно в такой же ситуации находятся точечные заряды в любой другой точке сферы, - и поэтому, их силовые линии также будут разворачиваться наружу сферы, под воздействием поля всех остальных зарядов. В результате, силовые линии всех зарядов сферы развернутся наружу сферы и электростатическое поле внутри заряженной сферы исчезнет.
Следует подчеркнуть, что поле внутри сферы (и силовые линии этого поля) не уничтожаются, просто, поле меняет свою конфигурацию (силовые линии всех единичных зарядов разворачиваются наружу сферы). См. рис. 22
Пойдём дальше. Если теперь предположить, что напряжённость единичных зарядов уменьшается быстрее, чем по закону обратных квадратов, Например, показатель степени будет равен: 2,05; 2,1; 2,15 и так далее. То, очевидно, что подавляющее преимущество заряженной сферы над единичным зарядом будет уменьшаться. Если дополнительно к этому условию мы будем увеличивать радиус сферы, то преимущество сферы над единичным зарядом будет уменьшаться ещё быстрее. При каком то, достаточно большом, радиусе сферы преимущество заряженной сферы над единичным зарядом исчезнет. И, когда напряжённость сферы станет меньше напряжённости отдельно взятого заряда, внутри сферы появится электрическое поле. При этом, зная радиус сферы, можно будет оценить показатель степени и величину его отклонения от 2. Попробуем найти математическое выражение рассмотренных взаимосвязей.
7.4 Определение силы действующей на единичную площадь внутренней поверхности сферы, при не выполнении закона обратных квадратов
По аналогии с формулой (94) можно записать:
;(98)
Подставляя значения и r, в (98) получим:
; сокращая подобные члены и интегрируя, получим:
;
;
;(99) Полученная формула подтверждает сделанные ранее предположения.
Отношение напряжённостей: всей сферы (формула 99) и заряда единичной поверхности «» (формула 96), равно:
; (100)
7.5 Условия появления поля на внутренней поверхности сферы
Если и меньше, то на внутренней поверхности сферы появится электростатическое поле;
;(101)
Формула (101) определяет граничные условия появления поля на внутренней поверхности сферы.
Как видно, это отношение зависит от двух величин: (n) и (а)
Зададимся величиной n =2,17 (по аналогии с гравитационными взаимодействиями) и определим величину а, для случая равенства напряжённостей заряженной сферы и заряда единичной поверхности .
=1; 73592,0
Мы получили величину радиуса сферы, при которой следует ожидать появления электростатического поля на внутренней поверхности сферы, для n=2,17. Конечно, величину n =2,17 мы выбрали безосновательно, ведь свойства электростатического поля могут сильно отличаться от свойств гравитационного поля. Поэтому при проведении экспериментов надо поступать наоборот: опытным путём находить величину радиуса сферы, при котором на внутренней поверхности появляется поле, и, затем, по формуле (101) находить показатель степени n.