Приведенные выше, более подробные, выкладки подтверждают этот вывод Ньютона, но в то же время показывают, что Ньютон упустил кое какие подробности, а именно: он не исследовал характер изменения напряжённостей противоположных частей сферы, при перемещении точки m от центра к внутренней поверхности сферы.
2.5 Определение напряжённости в точке m, расположенной вне сферы
См. рис.6
Из геометрических соображений (см. Рис.6) можно записать:
; где а - радиус сферы;
; R=
;
;
;
, подставляя выражения: dV; dS; dL; y, - получим.
;
Из чертежа (рис.6) также, можно записать:
;
;
;
;
;
;
;
Пользуясь формулой обратных квадратов, запишем выражение дифференциала напряжённости гравитационного поля сферы в точке m.
; подставляя выражения: dM; Cos; r, получим:
;
Интегрируя обе части уравнения, получим:
; (14)
Подобный интеграл, правда, с другими пределами интегрирования, (см. интеграл №8) - нами уже взят ранее. Поэтому, сразу можно записать:
=;
Подставляя пределы интегрирования, получим:
=;
Подставляя значение интеграла в (14), получим:
;(15)
Следует заметить, что окружность , образованная касательными к сфере, проведёнными из точки m, разделяет сферу на две неравные части, каждая из которых создаёт в точке m напряжённость равную половине величины напряжённости всей сферы. В этом можно убедиться, взяв интегралы раздельно для каждой из частей сферы.
Причём, меньшая (левая) часть сферы - создаёт напряжённость за счёт гравитационного излучения внешней поверхности сферы; правая же часть сферы - создаёт напряжённость за счёт излучения внутренней поверхности сферы.
При k=1 (R=a, точка m лежит на внешней поверхности сферы), получим:
; При этом, половина этой величины (), - создаётся излучением всей внутренней поверхности сферы, а другая половина создаётся внешним излучением ближайшего (очень малого) участка сферы.
Результирующая величина напряжённости на внешней поверхности сферы вдвое больше, чем односторонняя величина напряжённости на внутренней поверхности сферы.
Если в формулу (15) подставим вместо k его выражение: , получим:
; но: - это масса сферы (), при условии, что . Подставляя обозначение массы, окончательно получим:
; (16) Поскольку всегда можно представить, что шар состоит из множества тонких сфер, то, суммируя напряжённости сфер, можно записать:
;(17)
Если в эту формулу, вместо единичной массы подставить какую либо массу «m» , то мы получим формулу (1) - закон всемирного тяготения:
;(1)
Вышеприведенные выкладки показали, что если сила взаимодействие точечных масс подчиняется формуле (1), то и взаимодействие большой гравитирующей массы М с ничтожно малой массой m, также можно определить по формуле (1) - то есть, основная теорема небесной механики доказана.
Но, необходимо подробней рассмотреть условия, принятые и использованные по умолчанию при доказательстве теоремы. По умолчанию было принято условие о независимости действия гравитационных полей точечных масс, из которых состоял шар и вырезанные из него сферы. То есть, все эти точечные массы, как бы, не зависимо друг от друга, излучали равномерно во все стороны гравитационные волны; волны от множества точечных масс доходили до пробного тела и взаимодействовали с его гравитационным полем, не искажая последнего, что, конечно, весьма сомнительно. С этими сомнениями мы попытаемся разобраться позже.
Что же касается первого условия: то есть выполнимости формулы (1) для точечных масс, - то это условие математически доказать невозможно. Справедливость формулы (1) для точечных масс может доказать только эксперимент. Во времена Ньютона такой эксперимент проведён не был и поэтому, по происхождению, «Закон всемирного тяготения» Ньютона - не более чем гипотеза. Первые эксперименты, по определению силы гравитационного взаимодействия масс, были проведены Кавендишем. В ходе этих экспериментов была определена величина гравитационной постоянной (), что позволило определить массу Земли, а затем и массу Солнца и массы планет солнечной системы. Считается, что эти и им подобные эксперименты, надёжно подтвердили «Закон всемирного тяготения» Ньютона. Мы, в дальнейшем, позволим себе в этом усомниться, а пока: продолжим рассматривать математическую модель большой гравитирующей массы (шара), состоящей из точечных масс, излучающих гравитационные волны прямолинейно и равномерно во все стороны, при условии, что напряжённость гравитационного поля каждой из этих точечных масс изменяется по закону обратных квадратов. При этих условиях, определим:
3. Распределение напряжённостей гравитационного поля шара на его поверхности, по направлениям
Рассмотрим шар (диаметром D) и точку m на поверхности шара, см Рис.7. Из точки m, прямыми линиями, вырежем узкие конусы, с углом раскрытия (), в направлении к центру шара и в произвольном направлении, под углом () к главной оси шара.
Несомненно, что гравитационное излучение, приходящее в точку m от материальных точек, находящихся в центральном конусе, будет наиболее мощным (это амплитудное значение излучения, обозначим через А)
В конусе произвольного направления, вырезанного под углом к вертикали, выделим приращение объёма dV, имеющего длину - dt, площадь сечения - dS, массу - dM.
Из чертежа (Рис.7) можно записать:
;; ; ; Где, D - диаметр шара.
; Где, - приращение напряжённости с направления
== ;
Интегрируя, получим:
;
Комплекс: - обозначим через (А), и окончательно получим:
; (18)
Где:- напряжённость в точке m, с направления ;
А - амплитуда напряжённости (напряжённость с центрального направления)
Графически, распределение напряжённости по направлениям в точке m, на поверхности (или вблизи поверхности) большой шаровой массы, при условии изображения напряжённости силовыми линиями различной длины, будет выглядеть так, как показано на Рис. 8
И тут в самую пору задуматься о том: а как же будет выглядеть конфигурация собственного гравитационного поля пробного тела, находящегося вблизи поверхности большой гравитирующей массы? Останется ли это поле равномерно распределённым по всем направлениям в области сферы?
Пожалуй, нет. Трудно себе представить, что слабое гравитационное поле материальной точки (пробного тела) не будет изменено сильным полем, например, полем Земли.
С большой степенью вероятности можно предположить, что силовые линии гравитационного поля материальной точки развернутся в сторону Земли и станут зеркальным отображением (в уменьшенном виде) гравитационных силовых линий земного поля, проходящих через эту точку. Очевидно, что при этом сила притяжения материальной точки возрастёт.
Но, в этом случае, нам лучше (удобней) рассматривать не напряжённости и их распределение по направлениям, а плотность гравитационного излучения и распределение плотности гравитационного излучения по направлениям.
Действительно, ведь понятие напряжённости поля (в какой либо точке) означает силу, действующую на единичную массу, помещённую в эту точку. И при этом, по умолчанию, принимается, что эта единичная масса имеет равномерное по всем направлениям собственное гравитационное поле.
Если же гравитационное поле пробного тела неравномерное, и если мы хотим правильно оценить взаимодействие тел, то нам необходимо знать не только их массы и расстояние между ними, но и распределение плотности излучения этих масс по направлениям.
Измерять плотность гравитационного излучения можно, например, в ваттах на квадратный метр (ват/м). Другой вопрос, что никому пока не удалось её измерить, как не удалось измерить и скорость распространения гравитационных волн, и их длину.
Нетрудно сделать вывод о том, что поток гравитационного излучения пропорционален массе тела и что сила взаимодействия двух тел, очевидно, будет пропорциональна произведению проекций потоков гравитационного излучения тел на линию взаимодействия этих тел.
Этот вывод не противоречит формуле Ньютона:
Для принятого ранее равномерного сферического гравитационного поля, проекции гравитационных потоков тел на линию взаимодействия всегда пропорциональны их массам, а сила взаимодействия масс всегда пропорциональна произведению проекций потоков тел (или произведению масс).
Но если тела (или хотя бы одно из двух взаимодействующих тел) имеют неравномерное по направлениям гравитационное поле, то расчёт силы взаимодействия по формуле Ньютона даст не верный результат. А это значит, что нам надо:
- изучить свойства полей, различных конфигураций, как точечных масс, так и больших гравитирующих масс;
- научиться находить проекции гравитационного излучения на оси координат и на плоскости;
- научиться определять коэффициент усиления (ослабления) силы взаимодействия масс (по сравнению с формулой Ньютона), вследствие неравномерности гравитационных полей.
Переходя к рассмотрению гравитационных излучений, примем следующие обозначения:
Ф - поток гравитационного излучения;
f - плотность, потока гравитационного излучения (поток через единичную поверхность);
- плотность потока в направлении ; где - угол, отсчитываемый от вертикали (от радиус-вектора большой гравитирующей массы).
Тогда распределение гравитационного излучения на поверхности Земли по направлениям, запишется в виде:
; (19) где, А - амплитуда гравитационного излучения в направлении центра Земли (т.е. наибольшая плотность гравитационного излучения) [Вт/м2]
Графически, гравитационное излучение Земли, проходящее через пробное тело m, и излучение самого пробного тела, будут выглядеть следующим образом: см. рис.9
Собственное гравитационное поле пробного тела m разворачивается в сторону Земли, навстречу мощному гравитационному излучению Земли и распределяется по направлениям также как и гравитационное поле Земли, по закону косинуса.
3.1 Оценка методической погрешности при определении закона распределения гравитационного излучения у поверхности Земли
В выше приведенных вычислениях, по умолчанию, предполагалось, что плотность Земли всюду одинакова. В действительности это, конечно, не так.
Кроме того, мы предполагали, что каждая материальная точка Земли излучает гравитационные волны равномерно по всем направлениям; и, в то же время, сделали предположение, что гравитационное поле пробных тел, находящихся вблизи поверхности Земли, деформируется под влиянием сильного гравитационного поля Земли. Но если принять это последнее предположение, то мы обязаны признать, что и гравитационное поле точечных масс, находящихся в поверхностном слое Земли, также должно быть деформировано мощным гравитационным излучением, идущим из глубины Земли. Поле точечных масс, расположенных в более глубоких слоях Земли также будет деформировано, но уже меньше. Закон изменения деформации гравитационного поля точечных масс, с глубиной, сразу и не определить. Но вполне определённо, из соображений симметрии, можно сказать, что гравитационное поле точечной массы, расположенной в центре Земли, будет равномерным, а все остальные материальные точки будут иметь деформированное гравитационное поле.
Имея такие первоначальные данные, вывести закон распределения плотности гравитационного излучения по направлениям на поверхности Земли, в элементарных функциях, сложно, и мы не будем этого делать. Но заметим, что если бы и удалось вывести этот закон, то он не был бы законом Косинуса. А это значит, что формулу распределения плотности излучения мы вывели не точно. Попробуем оценить величину этой ошибки.
Подойдём к решению задачи о распределении плотности гравитационного излучения с другой стороны. Проанализируем опытные факты, которые могут характеризовать распределение гравитационного излучения на поверхности Земли.
Мы знаем, из опытов Ньютона и его предшественников, что ускоренное движение тела в любом направлении (и по направлению к центру Земли, и в направлении параллельно Земле) описывается одним выражением:
; (20)
Где, F - сила, действующая на массу m; а - ускорение массы m под действием силы F
Мы знаем также, что на тело, движущееся с ускорением, действует сила инерции, равная произведению и направленная противоположно ускорению:
Для случая движения тела по окружности, это доказано опытами Гюйгенса.
Для случая свободного падения тела, это доказано опытами Бальяни и Галилея. Даламбер обобщил эти случаи и сделал вывод, что всегда, при ускоренном движении тела, имеет место равновесие сил: действующей силы и противодействующей силы (силы инерции). Тем самым, Даламбер расширил область действия 3-го закона Ньютона (о равновесии сил) и на тела, движущиеся с ускорением.
Даламбер, из осторожности, представил свой принцип как математический приём, упрощающий решение задач. Его осторожность вполне понятна: нужно время, чтобы оценить по достоинству нововведение. Так же осторожно, в своё время, поступил и Коперник, представив свою гелиоцентрическую систему Мира, как математическую модель, упрощающую астрономические вычисления. Так же поступил и Густав Кориолис, предложив, для упрощения вычислений, живую силу () записывать, как: (знакомое всем нам выражение кинетической энергии). Последнее предложение приняли довольно быстро. Систему Мира Коперника признали реальной лишь несколько веков спустя. «Принцип Даламбера» учёные-теоретики и по сей день считают условным математическим приёмом, отказываясь признавать реальность силы инерции. Что же касается прикладных наук и техники, то здесь сила инерции (и, в частности, центробежная сила) не раз доказывала свою реальность, обрывая лопатки компрессоров и турбин. Так что, у инженеров нет никаких сомнений относительно реальности центробежной силы.