Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ

Часть 1

Учебное пособие

Воронеж 2013

ФГБОУ ВПО “Воронежский

государственный технический университет”

А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 1

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

УДК 517.2

Бырдин А.П. Математический анализ : учеб. пособие / А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко. Воронеж: ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2013. Ч. 1. 183 с.

В учебном пособии излагается курс математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров, приведены задачи для самостоятельного решения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 160700.65 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», дисциплине ”Математический анализ”.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержится в файле РД-МатАнализ-Часть1.doc.

Ил. 54. Библиогр.: 7 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф.

В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин);

канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов

• Бырдин А.П., Заварзин Н.В.,

Сидоренко А.А., 2013

• Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2013

Введение

Настоящее учебное пособие написано авторами на основе лекций, читаемых на протяжении ряда лет студентам специальности “Проектирование авиационных и ракетных двигателей” Воронежского государственного технического университета. Пособие написано в соответствии с программой курса “Математический анализ” и может быть использовано как студентами специальностей с повышенной математической подготовкой, так и студентами других специальностей.

Учебное пособие содержит также дополнительный материал, рекомендованный студентам для самостоятельного изучения. Содержание этих разделов используется для выполнения курсовых работ по спецдисциплинам, а также для выступлений “продвинутой” части аудитории на семинарских занятиях и в студенческой исследовательской работе. При написании учебного пособия использовались учебники, рекомендуемые в ведущих ВТУЗах России - МЭИ, МИЭТ, МИФИ и др. Авторы стремились подчеркнуть прикладные аспекты математики, развивающейся более трех столетий на плодотворной почве естественных и технических наук.

Пособие состоит из пяти глав. В каждой главе приводятся необходимые теоретические сведения (основные понятия, теоремы, определения, доказательства и т.д.), а также примеры к каждому разделу курса . По каждому изучаемому разделу приведены также задачи для самостоятельного решения. Поэтому представленное учебное пособие может быть использовано преподавателями для проведения семинарских и практических занятий.

1. Предел последовательности

1.1. Множество действительных чисел

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элемен­тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ского алфавита а их элементы — малыми буквами .

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит мно­жеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу­стым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко­торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой­ство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись = {1, 3, 15} означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись = { : } означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами,

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо­значают (или ). Кратко можно записать = { : или }.

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­лежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) мно­жеств обозначают (или ). Кратко можно записать = { : и }.

В дальнейшем, для сокращения записей, будем использовать неко­торые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »;

— «предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует ;

— означает «для любого», «для всякого»;

— «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что».

Например: 1) запись : означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) ( ) ( или ); эта запись определяет

объединение множеств и .

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

- множество натуральных чисел;

- множество целых неотрицательных чи­сел;

- множество целых чисел;

- множество рациональных чисел.

- множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, - рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­ются иррациональными.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Допустим, что существует рациональное число, представленное не­сократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

, т.е. .

Отсюда следует, что (а значит, и ) - четное число, т.е. . Подставив в равенство , получим , т.е. . Отсюда следует, что число - четное, т.е. . Но то­гда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи­сла, квадрат которого равен числу 2.