Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, , - иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе­ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать

, где , .

1.2. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Числовые последовательности изучают уже в школе. Примерами таких последовательностей могут служить: 1) последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессий; 2) последовательность периметров правильных п-угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность , , приближен-ных значений . Уточним и расширим понятие числовой последовательности.

Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3, … , п, … поставлено в соответствие действительное число , то множество действительных чисел , , , …, , … называется числовой последо-вательностью или просто последовательностью.

Числа , , , …, , … будем называть элементами (или членами) последовательности, символ – общим элементом (или членом) последовательности, а число п – его номером. Сокращенно последовательность будем обозначать символом { }. Так, например, символ обозначает последовательность .

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула задает последовательность: 0, 2, 0, 2 … . Обращая дробь в десятичную и оставляя один, два, три и т. д. знака после запятой, получим последовательность

.

По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.

Введем арифметические действия над числовыми последовательностями. Пусть даны последовательности и .

Произведением последовательности на число m назовем последовательность , , , …, , …;

cуммой данных последовательностей назовем последовательность , , …., , …;

разностью – последовательность , ,…., , …;

произведением – последовательность , ,…., , …;

частным – последовательность если все члены последовательности { } отличны от нуля.

2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число m) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству

Определение 2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Пусть Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде

Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

1.3. Сходящиеся последовательности

1. Понятие сходящейся последовательности.

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при выполняется неравенство

. (1.1)

С помощью логических символов это определение можно записать в виде

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то символически это записывается так:

(1.2)

Пример. Используя определение предела последовательности, докажем, что

Возьмем любое число . Так как то для нахождения значений n, удовлетворяющих неравенству , достаточно решить неравенство , откуда получаем . Следовательно, в качестве N можно взять целую часть числа , т.е. Тогда неравенство будет выполняться при всех n  N. Этим и доказано, что

З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам

или ,

которые означают, что элемент находится в -окрестности точки а, точнее, существует номер N такой, что все элементы с номерами находятся в этой ε-окрестности.

2. Основные свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

З а м е ч а н и е. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Теорема 3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .

Теорема 4. Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательно-стей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

Пример. Найти

Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на . Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем

Теорема 6 (предельный переход в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству