Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
в области
,
ограниченной прямыми
,
,
(рис. 53).
Решение. Найдем точки возможного экстремума
6
B
0 6
Р
ис.
53
,
.
Так как внутри
треугольника
,
,
то приравнивая
и
нулю, получим:
.
Отсюда:
.
То есть т.
и в ней
.
Рассмотрим границу
:
1) На
и
.
2) На
и
.
3) На
,
.
Найдем наибольшее и наименьшее значение
этой функции на
:
.
Тогда
и
.
Вычислим значение
в этих точках:
,
.
На конце
отрезка
.
Из значений в точках
выбираем наибольшее и наименьшее:
,
.
П
-2 0 2
в области
:
(рис. 54).
Рис. 54
Решение. Найдем точки возможного экстремума
,
.
;
.
На границе:
,
,
и
.
На концах отрезка:
,
,
.
То есть, наибольшее значение в области
функция принимает в точках
,
,
наименьшее – в точках
,
(если
,
то
,
).
Задачи к п. 5.
1. Вычислить повторные пределы и
,
если:
,
,
;
,
,
;
,
,
.
2.
Доказать что функция
является бесконечно малой в точке
.
3. Доказать что в точке предел функции не существует.
4. Найти точки разрыва следующих функций
1)
;
2)
;
3)
.
5. Исследовать на непрерывность функцию в точке :
Рассмотреть ее
поведение на осях координат, на прямых
и на параболах
.
6. Исследовать на непрерывность функции по отдельным переменным и по совокупности переменных
1)
в точках
и
;
2)
в точках
и
;
3)
в точках
и
.
7. Показать, что следующие функции непрерывны
1)
,
2)
.
8. Найти частные
производные следующих функций в точке
или
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
9. Имеет ли функция частные производные в точке , если
1)
;
2)
;
3)
4)
Найти частные производные от функций:
10.
11.
12.
