Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

С л е д с т в и е. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству то их пределы удовлетворяют неравенству

З а м е ч а н и е. Из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство а только, по-прежнему, вытекает нестрогое

Теорема 7 (предел промежуточной переменной). Пусть даны три последовательности , и , причем для всех n, и пусть последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 1. Последовательность , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой.

Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы

для всех n, и пусть последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 1. Последовательность , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой.

Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы

, Где есть бесконечно малая.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при выполняется неравенство При этом пишут

(1.3)

Символическая запись определения бесконечно большой последовательности:

Если бесконечно большая последовательность , начиная с некоторого номера, принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут

(1.4)

или соответственно

(1.5)

Таким образом, из (1.4), так же как и из (1.5), следует (1.3). Пример последовательности показывает, что может иметь место соотношение (1.3), в то время как не имеет места ни (1.4), ни (1.5).

Теорема 8. Если  бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая, и обратно, если  бесконечно малая последовательность и , то последовательность  бесконечно большая.

Теорема 9. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Теорема 10. Произведение ограниченной последовате-льности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

1.4. Монотонные последовательности

1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если  для всех n; неубывающей, если для всех n; убывающей, если  для всех n; невозрастающей, если для всех n.

Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.

1. Последовательность 1, 1/2, 1/3, . . , 1/n, . . . убывающая и ограниченная.

2. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, . . . 1/n, 1/n, . . . невозрастающая и ограниченная.

3. Последовательность 1, 2, 3, . . . n, . . . возрастающая и неограниченная.

4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . n, n, . . . неубывающая и неограниченная.

5. Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, . . ., n/(n+1), . . . возрастающая и ограниченная.

Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны: неубывающая последовательности – снизу ( для всех n), невозрастающие – сверху ( для всех n). Оказывается, что если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность ограничена, но не сходится (см. замечание к теореме 2 из п. 1.2). Имеет место следующая основная теорема о монотонных последовательностях.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

З а м е ч а н и е. Ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости. В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу сформулированной теоремы она сходится; если же монотонная последовательность сходится, то по теореме 2 из п. 1.2 она ограничена.

2. Число е. Рассмотрим последовательность с общим членом : .

Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что последовательность - возрастающая и ограничена сверху. Применив формулу бинома Ньютона, получим

Представим это выражение в следующей форме:

(1.6)

Аналогичным образом представим

Заметим теперь, что < при .

Поэтому каждое слагаемое в выражении для больше соответствующего слагаемого в выражении для и, кроме того, у по сравнению с добавляется еще одно положительное слагаемое. Следовательно, < , т.е. последовательность возрастающая.

Для доказательства ограниченности сверху данной

последовательности заметим, что каждое выражение в круглых скобках в соотношении (1.6) меньше единицы. Учитывая также, что при , получаем

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, придем к неравенству < 3.

Таким образом, доказано, что последовательность  возрастающая и ограничена сверху. По теореме она имеет предел. Этот предел обозначают буквой е. Итак, по определению,