Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Определение 2. Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и , взятым в точке .

Обозначение:

Используя понятие градиента функции и учитывая, что вектор имеет координаты , представим формулу (5.19) в виде ска­лярного произведения векторов grad z и :

(5.20)

С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем

, (5.21)

где  длина вектора ;  угол между векторами и . Сравнивая формулы (5.20) и (5.21) и учитывая, что , получаем

Из последнего равенства следует, что производная функции по на­правлению имеет наибольшую величину при , т.е. когда направление вектора совпадает с направлением . При этом . Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных , выводится формула

вводится понятие градиента и исследуются его свойства.

3. Частные производные высших порядков. Пусть частные произ­водные и функции , определенной в окрест­ности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка.

В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций и в точке М, если они существуют, назы­ваются частными производными второго порядка от функции в этой точке и обозначаются следующими символами:

Частные производные второго порядка вида , называются смешанными частными производными.

Примеры.

1. . Имеем Следовательно,

2. . Имеем,

Следовательно,

В обоих примерах смешанные частные производные и равны. Но, вообще говоря, значения смешанных произ­водных зависят от порядка, в котором производится дифференцирование. Так, например, функция

в точке (0; 0) имеет смешанные частные производные и , но они не равны друг другу. Действительно,

Следовательно,

Проводя аналогичные вычисления, получим . Таким образом,

Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.

Теорема 2. Если производные и суще­ствуют в некоторой -окрестности точки и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство = .

4. Экстремумы функции двух переменных.

Определение 3. Пусть функция опре­делена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрест­ность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство

Точки локального максимума и локального минимума назы­ваются точками экстремума. Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке , то полное при­ращение этой функции в точке М₀ удовлетво­ряет в некоторой окрестности точки одному из следующих ус­ловий: (в случае локального максимума), (в случае локального минимума). И обратно, если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке .

Теорема 3 (необходимые условия экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, и в точ­ке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке част­ные производные первого порядка равны нулю, т.е.

(5.22)

Условие (5.22) не является достаточным условием экстремума. Например, частные производные функции равны нулю в точке (0,0), однако эта функция не имеет экстремума в указанной точке, так как равна в ней нулю и ни в какой окрестности точки (0,0) не сохраняет знак: если , то , а если , то . Графиком функции является гиперболический параболоид.

Таким образом, условие (5.22) является только необходимым условием экстремума. Точки, в которых оно выполняется, будем по аналогии с функциями одной переменной называть точками возможного экстремума. Такие точки называются также стационар­ными.

Теорема 4 (Достаточные условия экстремума). Пусть в точке возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим

Тогда:

а) если , то в точке функция имеет экстремум, причем при  локальный максимум, при  локальный минимум; б) если , то в точке нет экстремума.

З а м е ч а н и е. Если , то функция в точке возможного экстремума может иметь экстремум, но может и не иметь его.

Примеры.

1. Исследовать на экстремум функцию

.

Имеем, Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений решения которой , . Следовательно,  точка возможного экстремума. Далее, Так как и то в точке данная функция имеет минимум.

2. Исследовать на экстремум функцию .

Имеем . Решая систему уравнений , , получаем, что  точка возможного экстремума. Так как и, следовательно, , то в точке экстремума нет.