Материал: Математическое моделирование в машиностроении. методические указания к выполнению практических работ. Перова А.В

Примечание. Приведенные данные соответственно характеризуют: 0 — предел прочности стали, МПа; 1, 2, 5 — логарифмы числа циклов до разрушения алюминиевого сплава при напряжении 330, 285 и 254 МПа соответственно; 3 — предел прочности алюминиевого сплава, МПа; 4 — предел текучести стали, МПа; 6 — относительное удлинение при разрыве образцов стали, %; 7 — предел усталости стали (на базе 5—107 циклов), МПа; 8, 9 — логарифмы числа циклов до разрушения стали (на базе 107 циклов).

Для проведения расчетов предлагаются статистические ряды, приведенные в табл. 2.

Задача 1.1. Определить основные числовые характеристики распределения опытных данных, приведенных в табл. 1 и 2.

Оформление отчета

Результаты работы (разд. 1.1) оформляются в виде краткого отчета, в котором указывается цель работы и приводятся:

•исходные данные;

•использованные зависимости и программы;

•полученные числовые характеристики.

1.2. Оценка соответствия наблюдаемых данных нормальному закону распределения (проверка гипотез)

Приближенная оценка соответствия опытного распределения нормальному закону может проводиться по асимметрии и эксцессу. Более объективно оценить соответствие нормальному закону можно по критериям согласия; наиболее простыми и доступными из них являются критерии Смирнова (омега-квадрат) и Пирсона (хи-квадрат).

1.2.1 .Оценка соответствия по асимметрии и эксцессу

Оценка соответствия опытных распределений нормальному закону проводится путем сопоставления значений асимметрии и эксцесса с их средними квадратическими отклонениями.

Необходимые величины определяются по зависимостям:

асимметрии

6

Таблица 2 Варианты наблюдаемых данных в виде статистических рядов

Варианты по шифру студента

7

Окончание табл. 2

Варианты по шифру студента

эксцессу

среднему квадратическому отклонению асимметрии

среднему квадратическому отклонению эксцесса

Заключение о соответствии делается сравнением абсолютных значений асимметрии и эксцесса с величинами их средних квадратических отклонений. Если выполняются условия

то распределение опытных данных не противоречит нормальному закону.

8

1.2.2. Оценка соответствия по критерию Смирнова

По этому критерию оцениваются опытные данные при сравнительно малом объеме наблюдений (до 100); предварительно они представляются в виде вариационного ряда.

2 1 n * 2

n 12n i 1 (pi pi ) ,

где n — число наблюдений; pi — теоретическая вероятность p*i

— накопленная частота. p*i = (i-0.5)/n

Полученное значение сопоставляется с критическим (предельным) Zα соответственно выбранной значимости α (обычно 0,05). Если выполняется условие

то распределение опытных данных не противоречит нормально-

му.

Заметим, что при определении теоретического значения вероятности надо пользоваться табличной функцией нормального распределения, приведенной в приложении П 3.1 [1], ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения.

1.2.3. Оценка соответствия по критерию Пирсона

По этому критерию оцениваются распределения при большом объеме наблюдений (более 100) с расположением их в статистический ряд. Необходимое для оценки значение критерия хи-квадрат определяется по зависимости

где k — число интервалов в статистическом ряду; m — число наблюдаемых данных в i-ом интервале.

Необходимые значения теоретической вероятности применительно к каждому разряду надо определять с помощью табличной функции нормального распределения, ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения. Соответствие оценивается сравнением расчетного значения критерия с предельным (табличным) значением критерия (приложение П 3.4 [1]) с учетом выбранного уровня значимости и числа степеней свобо-

9

ды r=k-3.

Если выполняется условие:

2 табл2

то опытное распределение не противоречит нормальному закону.

Задача 1.2. Оценить соответствие нормальному закону данных, приведенных в табл. 1 и 2 по всем критериям (подразд. 1.2.1; 1.2.2 и 1.2.3).

Оформление отчета

По результатам оценки соответствия наблюдаемых данных нормальному распределению (разд. 1.2) составляют краткий отчет, в котором указываются название и цель задания, а также приводятся:

•исходные данные;

•использованные таблицы и программы;

•полученные числовые характеристики и критерии.

Отчет заканчивается сопоставлением критериев и выводом о соответствии оцениваемых данных нормальному распределению.

2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

Основные числовые характеристики свойств в случае определения их по наблюдаемым данным являются статистическими оценками рассматриваемого показателя. С их помощью можно получить и другие важные для практики статистические оценки.

2.1. Отбрасывание резко выделяющихся наблюдений

Рассеяние свойств материалов определяется в основном их неоднородностью. Однако оно может в некоторых случаях резко возрастать за счет грубых ошибок, например, вследствие погрешности при замерах. Это можно сделать, ориентируясь на значения специальных критериев.

Так, с помощью критерия Ирвина можно определить, принадлежит ли минимальное и максимальное значения (первое и последнее в вариационном ряду) к одной генеральной совокупности.

С этой целью вычисляют нижнее и верхнее значения критериев:

10