Материал: Математическое моделирование в машиностроении. методические указания к выполнению практических работ. Перова А.В

и сопоставляют их с критическим значением, принятым для определенной доверительной вероятности (p=1-α). Критические значения надо взять по приложению П 3.7 [1]; уровень значимости α обычно берется 0,05 или 0,01.

Если расчетные значения меньше критического, то отклонение минимального и максимального значений считается случайным и они не отбрасываются; в противном случае соответствующие значения исключаются из дальнейшего рассмотрения и проверка делается вновь.

Задача 2.1. Определить принадлежность наименьшего и наибольшего значений вариационного ряда в распределении наблюдаемых данных, представленных в табл. 1.

Напомним, что необходимое для расчета значение среднего квадратичного отклонения было получено ранее (см. разд. 1.1).

Заключение, сделанное по критерию Ирвина, надо сопоставить с решением этой же задачи по правилу двух и трех сигм.

2.2. Определение доверительного интервала для среднего значения

Рассчитанное по наблюдаемым данным среднее значение является приближенной оценкой истинного значения (математического ожидания). Поэтому важно определить точность и достоверность полученной оценки, т. е. указать интервалы, соответствующие определенной (доверительной) вероятности.

В часто встречающихся на практике случаях, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна и ее оценка определяется по выборке, доверительный интервал определяется по формуле

где n — объем выборки; tβ — коэффициент Стьюдента с вероятностью β при степенях свободы r=n-1.

Значения коэффициентов табулированы, их следует взять по табл. П 3.3 [1].

11

Задача 2.2. Определить доверительный интервал для среднего значения наблюдаемых данных, приведенных в виде вариационных рядов в табл. 1 при доверительной вероятности 0,90.

Задача решается с использованием ранее полученного среднего квадратического отклонения (см. п. 1.1). Оценку по результатам расчета надо сравнивать с оценкой в предложении, что полученное среднее квадратичное отклонение соответствует генеральной совокупности. При этом надо воспользоваться зависимостью

2.3. Оценка гарантируемого уровня

Гарантируемым считается уровень, отвечающий требуемой (установленной) вероятности; на практике это сдаточный уровень. Иногда, наоборот, оценивается вероятность обеспечения (достижения) требуемого уровня свойств.

Предположим, установлен сдаточный уровень не ниже x1. В таком случае вероятность выполнения требования будет

а при переходе к нормированному распределению —

Напомним, что

F0(-U) = 1 - F0(U).

Задача 2.3. Определить вероятность выполнения сдаточного уровня, соответствующего третьему члену вариационного ряда, приведенного в табл. 1; определить также значение сдаточного уровня, отвечающего вероятности 0,9.

Необходимые при решении задачи основные числовые характеристики распределения получены ранее (см. разд. 1.1). Значения нормированной функции, как уже указывалось, нужно брать по приложению П 3.1 [1].

2.4. Оценка вероятности попадания в установленные пределы

Вероятность попадания в интервал между х, и х2 будет определяться:

12

Задача 2.4. Применительно к распределению, приведенному в табл. 1., определить вероятность попадания в интервал между вторым и предпоследним членами вариационного ряда; определить также значения верхнего предела интервала для вероятности 0,7 при неизменном нижнем значении ряда.

Напомним, что основные числовые характеристики распределения были получены при решении предыдущих задач, а значения нормированной функции надо взять по приложению П 3.1 [1].

2.5. Определение объема испытаний (наблюдений)

Объем испытаний (наблюдений) определяется исходя из необходимости получения оценки требуемого параметра с определенной (заданной) точностью и достоверностью. С учетом сказанного требуемое число образцов в предложении нормального распределения с известным рассеянием данного показателя свойств рассчитывается по зависимости

где Vx — коэффициент вариации; хот — допустимая (относительная) ошибка при оценке среднего значения в долях среднегоквадратического отклонения;

U1 — параметр надежности - вероятность непревышения факти-

2

ческой ошибкой допустимой ошибки.

Прежде всего, надо определиться с допустимой ошибкой. Обычно при низкой точности ее принимают равной коэффициенту вариации, при средней точности — 0,4—0,5 и при высокой — 0,2— 0,3 от коэффициента вариации. Значение последнего надо принять с учетом каких-либо имеющихся данных (позже оно может быть уточнено).

Далее надо задаться уровнем значимости (обычно α = 0,1—0,05); по нему определяют вероятность и по ее значению устанавливают параметр U с помощью приложения П 3.1 [1].

13

Рассчитанное по указанной схеме количество образцов при необходимости может быть уточнено с использованием нового значения коэффициента вариации, уточненного по результатам испытаний.

Задача 2.5. Определить минимально необходимый объем испытаний, обеспечивающий относительную ошибку среднего значения, не превышающую 0,03 при уровне значимости а = 0,1; определить также получаемую ошибку, если испытания проводить на пяти образцах.

Необходимое для расчета значение коэффициента вариации принимается на основании решения предыдущих задач применительно к распределению, приведенному в табл. 1.

Рассчитанный объем испытаний надо уточнить в предложении, что коэффициент вариации в ходе опытной отработки был скорректирован и превысил принятое ранее значение на 0,02.

Оформление отчета

По задачам 2.1—2.5 составляется краткий отчет, в котором каждая из задач формулируется в конкретной постановке, приводится решение и дается заключение с ответами на поставленные вопросы.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПО НАБЛЮДАЕМЫМ ДАННЫМ

Свойства материалов в условиях эксплуатации изделий могут изменяться, сохраняя, однако, статистический характер. В связи с этим возникает необходимость при решении задач по выбору материалов пользоваться функциями случайных величин. В общем виде такую функцию можно записать:

где X — случайная величина.

На практике такие функции часто получаются аппроксимацией соответствующих опытных данных (результатов, испытаний).

14

3.1. Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов

При нормальном распределении исходных данных и заданном типе функций в виде Y=φ(X) метод наименьших квадратов позволяет так выбирать ее числовые параметры, что сумма квадратов отклонений опытных точек от принятой зависимости будет минимальной.

В случае линейной зависимости y=ax+b коэффициенты уравнения будут:

Dx

где x, y — средние значения; Dx — дисперсия; Kxy —корреляционный момент.

где n — число пар наблюдений.

Рассеяние вокруг линии регрессии (дисперсия воспроизводимости) определяется зависимостью:

где Sy2 — дисперсия величины, принимаемой за функцию; rxy — коэффициент корреляции. Последний вычисляется через корреляционный момент по зависимости:

где Sx — среднее квадратическое отклонение аргумента. Проведению расчетов должна предшествовать проверка соот-

ветствия опытных данных нормальному распределению. В случае же несоответствия надо путем преобразования исходных величин привести их к нормальному распределению. С этой целью чаще всего используются обратные величины, логарифмические и степенные функции.

Применительно к преобразованным величинам расчеты проводятся так же, как и для непреобразованных величин. Вместе с тем надо иметь в виду, что полученная при этом дисперсия будет характеризовать рассеяние вокруг линии регрессии применительно к варианту с преобразованием. Для непреобразованных исходных величин дисперсию следует определять сопоставлением значений, получен-

15