Материал: Математическое моделирование в машиностроении. методические указания к выполнению практических работ. Перова А.В
3.2.4. Степенная зависимость
Задача аппроксимации по степенной зависимости вида Y=aXb путем логарифмирования сводится к предыдущей задаче логарифмической аппроксимации. При ее решении надо использовать те же исходные данные.
Оформление отчета
Результаты работы по всем задачам аппроксимации (разд. 3.1— 3.4) оформляются в виде краткого отчета с указанием названия и цеди работы; в нем должны быть также приведены:
•исходные данные;
•полученные числовые характеристики;
•полученные зависимости в аналитическом и графическом виде;
•результаты сопоставлений полученных зависимостей по рассеянию вокруг линии регрессии расчетных и опытных данных.
Отчет должен заканчиваться сравнением полученных зависимостей, аргументированным выводом по оптимальному варианту применительно к задачам нелинейной аппроксимации.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧИМОСТИ И ВЛИЯНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
На свойства материалов могут оказывать воздействие различные технологические факторы; в некоторых случаях воздействие приобретает статистически закономерный характер. В практическом плане важно как установление самого факта влияния, так и количественная характеристика такого влияния. Например, надо оценить идентичность (равнозначность) по качеству разных партий продукции или же количественно идентифицировать зависимость факторов друг от друга.
Такие задачи решаются методами дисперсионного, корреляционного и регрессного анализа. Поскольку рассмотренные ранее способы получения функций эксплуатационных свойств основаны на регрессионном анализе и иллюстрируют применение его методов в материаловедении, ниже имеется в виду остановиться лишь на методах дисперсионного и корреляционного анализа.
21
4.1. Оценка принадлежности результатов различных испытаний (партий) к одной генеральной совокупности
Необходимость определения принадлежности наблюдаемых результатов к одной генеральной совокупности возникает при оценке идентичности разных партий продукции, производимой, например, в разное время или в разных местах, при сравнительной оценке точности измерений, правильности работы приборов, инструментов и пр.
Объективная оценка при этом производится по статистическим критериям. Так, для оценки равнозначности двух нормально распределенных совокупностей по извлеченным из них независимым выборкам надо сравнить их дисперсии при выбранном уровне значимости; другими словами, надо определить, значимо они различаются или незначимо.
Расчетные зависимости
Для проверки принадлежности дисперсий к одной генеральной совокупности используется отношение большей выборочной дисперсии к меньшей (критерий Фишера):
F |
|
|
S |
2 |
. |
расч |
|
б |
|||
|
|
||||
|
|
Sм2 |
|||
Эта случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы:
k1 n1 1,k2 n2 1,
где n1; n2 — объемы выборок.
С помощью вспомогательного приложения П 3.5 [1] определяется критическое значение Fкр( / 2,k1k2 ) , уровень значимости обычно берется
0,1 или 0,05.
Если соблюдается неравенство
Fрасч Fкр( / 2,k1k2 ) ,
то предложение о принадлежности обеих дисперсий к одной генеральной совокупности не противоречит опытным данным.
В случае подтверждения можно рассчитать обобщенную дисперсию
S2 (n1 1)S12 (n2 1)S22
n1 n2 2
Пример 4.1. Определить равнозначность продукции двух партий при уровне значимости α = 0,1 по результатам испытаний 30 и 20 образцов с оценкой качества по пределу прочности.
22
В результате первичной статистической обработки получены оценки средних значений и дисперсий:
x |
1 |
401 Мпа (n1 = 30); |
x |
2 490 Мпа (n2 = 30); |
||||||
S12 |
82; S22 71. |
|||||||||
Сначала оцениваем однородность дисперсий по критерию Фи- |
||||||||||
шера: |
|
|
|
S12 |
|
|
|
|
|
|
F |
расч |
|
|
82 |
1,15 |
|||||
S22 |
|
|||||||||
|
|
|
71 |
|
|
|||||
С помощью приложения П 3.5 [1] для α = 0,05, k1 = 30-1 =29 и k2 = 20-1 =19 определяем критическое значение Fкр(0,05,29 /19) 2.08 .
Поскольку Fрасч 1,15 Fкр 2,08,заключаем, что по пределу прочности продукцию обеих партий можно считать равнозначной (с 95%-ной достоверностью).
Рассчитываем оценку общей дисперсии:
S2 (30 1)82 (20 1)71 77,6; S = 8.81 30 20 2
При оценке принадлежности к одной генеральной совокупности нескольких уровней факторов признака X (табл. 5) по критерию Фишера надо сравнивать факторную и остаточную дисперсии:
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
фр |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sост2 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты наблюдений значений признака х |
|||||||||
|
|
|
различных уровней |
|
|
|
|||||
|
|
|
Наблюдения Ni |
Уровни факторов Fi |
|
||||||
|
|
|
|
F1 |
F2 |
… |
Fp |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x11 |
x12 |
|
x1p |
||||||
|
|
2 |
x21 |
x22 |
|
x2p |
|
||||
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
xq1 |
xq2 |
|
xqp |
|
|||
|
|
|
Групповая средняя |
x |
гр1 |
x |
гр2 |
|
x |
грqp |
|
Если обозначить суммы квадратов |
|
|
|
|
|
|
|||||
pq
SSобщ (xij x)2 ;
j 1i 1 i 1
p
SSфр q (xгр x)2 ;
j 1
SSост SSобщ SSфр ,
дисперсии будут соответственно:
23
S |
2 |
|
SSобщ |
; |
|
|||
|
общ |
|
|
|
pq 1 |
|||
S |
2 |
|
SSфр |
; |
|
|||
|
фр |
|
p 1 |
|||||
Sост2 |
|
SSост |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
p(q 1) |
|||
Для нормальных совокупностей с одинаковыми (хотя и неизвестными) дисперсиями равенство факторной и остаточной дисперсии означает и равенство групповых средних значений.
Пример 4.2. Оценить, имеются ли отклонения в качестве продукций по результатам трех поквартальных испытаний ударной вязкости, представленным в табл. 6.
Таблица 6 Результаты контрольных испытаний (Дж/см2)
№ испытания |
Обозначение партий (уровней факторов) |
|||
|
|
F1 |
F2 |
F3 |
1 |
51 |
52 |
42 |
|
2 |
52 |
54 |
44 |
|
3 |
56 |
56 |
50 |
|
4 |
57 |
58 |
52 |
|
x |
гр |
54 |
55 |
47 |
Оценим гипотезу о равенстве групповых средних через гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии. В результате расчетов получаем:
F |
2.08 |
|
|
|
|
S2 |
|
кр(0,05,29/19) |
S2 |
76; S2 |
12,67 F |
|
|
фр |
76/12,67 5,99; |
|
расч |
Sост2 |
|||||
|
фр |
ост |
|
|
|
Поскольку Fрасч Fкр(0.05;2;9) ,предположение о равнозначности партий по качеству отвергается; групповые средние оценки качества в целом различаются значимо, что свидетельствует о каких-то изменениях в технологии. Если потребуется определить направленность изменений, надо сравнить средние значения попарно с использованием критерия Стьюдента.
Проведение расчетов
Для решения задачи оценки идентичности продукции различных партий в качестве исходных используются данные табл. 1. При этом каждый из вариационных рядов делится на три равные части, кото-
24
рые отождествляются с партиями продукции.
Задача 4.1. Применительно к наблюдаемым данным, приведенным в табл. 1 с разделением их на три части, оценить равнозначность качества продукции при уровне значимости α = 0,10.
Прежде всего, надо рассчитать основные числовые характеристики показателя качества партий; это можно сделать подобно тому, как это делалось при решении задачи в п. 1.1. Дальнейшие расчеты следует проводить по выше приведенным зависимостям электронных таблиц Excel.
Оформление отчета
Результаты (подразд. 4.1) оформляются в виде краткого отчета с формулировкой задачи и указанием основных этапов ее решения; приводятся также исходные данные и результаты промежуточных вычислений. Отчет заканчивается заключением о равнозначности партий по качеству. В случае неравнозначности производится оценка направленности изменения по критерию Стьюдента, а при равнозначности определяется общая оценка дисперсии.
4.2. Оценка связей между факторами
Для характеристики взаимного влияния технологических факторов результаты соответствующих наблюдений представляются в виде матрицы аналогично тому, как это делалось в п. 4.1. Применительно к составленной матрице рассчитываются корреляционные моменты и коэффициенты корреляции.
Расчетные зависимости
В ходе расчетов определяются:
•групповые средние значения:
•дисперсии:
•корреляционные моменты:
25