Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Положим, x4 t . Тогда х2 = 2 – t, x3 = 8 – 3t, x1 = 11t – 27, x5 = 16t – 42.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектором называется направленный отрезок, обозначае-

мый или a , или AB с указанием начальной точки A (точки приложения) и конечной точки B (рис. 1) .

Рис. 1

Длина (модуль) вектора AB обозначается |

AB | .

Вектор 0

называется нулевым,

если имеет длину,

равную

нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных

прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие на одной плоскости (или в парал-

лельных плоскостях), называются компланарными.

Пусть известны координаты точек начала и конца вектора

A(x1, y1, z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) ,

тогда координаты вектора AB равны

разностям координат конца и начала вектора, т. е.

AB {x2 x1, y2 y1, z2 z1} .

Длина вектора AB равна

| AB | (x

x )

2 ( y

y )2

z )2 .

Сумма произведений n векторов a1 , a2 ,

…,

an на

вещественные

числа

1, 2 , ...,n ,

именно

1 a1

2 a2 ... n an

называется

линейной

комбинацией

векторов.

Если линейная комбинация векторов обращается в ноль


1 a1 2 a2 ... n an 0			при условии,		что	вещественные
числа 1, 2 , ..., n		отличны от нуля,		то вектора называются

линейно	зависимыми.		Векторы a1 , a2 ,…, an			называются

линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа1, 2 , ..., n равны нулю.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Базисом в пространстве называется максимально возможная по количеству линейно независимая система векторов. В трехмерном пространстве три некомпланарных


вектора a ,	b ,	c	образуют базис. Тогда для любого вектора d

всегда найдутся такие вещественные числа , ,						, что вектор

d может	быть	представлен в			виде линейной	комбинации
					разложен по базису, где ,
векторов:	d a		b	c , т. е.	разложен по базису, где ,

, называются координатами вектора d в базисе векторов

a , b , c .

Разложение вектора d по базису данных векторов единственно.

Необходимость введения понятия базиса обусловлена тем, что линейные операции над векторами (сложения, вычитания, умножения на вещественное число) становятся операциями над числами (координатами этих векторов).


	А	именно:	если		d1 1 a		1 b	1 c 1 , 1 , 1 ,
		{ 2 , 2 , 2 },				1 2 , 1 2 , 1 2 ,
а	d2	{ 2 , 2 , 2 },	то	d 1 + d 2		1 2 , 1 2 , 1 2 ,
		1 , 1 , 1	.
а d 1		1 , 1 , 1	.
	Декартовая прямоугольная система координат (рис. 2)
представляет собой			три	взаимно		перпендикулярные оси

в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей: ось Оx — ось абсцисс; ось Оy — ось ординат; ось

Оz — ось аппликат.

Рис. 2

Вектор OA , выходящий из начала координат, называется

радиус-вектором.

Декартовой прямоугольной системе координат отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов


(ортов) i ,	j ,	k . Для произвольного вектора	d найдется

единственная тройка чисел x, y, z , такая, что будет справедливо


равенство		d xi y j z k , где				i	{1,0,0} ,	j	{0,1,0} ,
	{0,0,1} ,
k	{0,0,1} ,	x, y, z — декартовые прямоугольные координаты d ,
	{x, y, z}.
d	{x, y, z}.
	Скалярным		произведением двух				векторов	называется

число, обозначаемое как					( a, b ) и равное ( a, b ) \| a \|				\| b \| cos ,

где — угол между a				и	b .
					23

Скалярное

произведение

обладает

следующими

свойствами:

( a, b )

( b, a ) .

( a, b )

( a, b ) .

( a

b , c) ( a, c )

( b, c ) .

( a, a )

0 , если a

— ненулевой вектор,

Если

заданы координаты

векторов

a ax , ay , az ,

b bx , by ,bz ,

то их скалярное произведение равно сумме

произведений

их

соответствующих

координат, т. е.

(a,b) axbx ay by az bz .

Пример

2.1.

Фермер

производит 5

видов

продукции

П1,

П2,

П3,

П4,

П5

в количествах 40, 60,

10,

80,

20 единиц.

При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 10; 2; 5, 8, 6 единиц. Определить расход сырья на всю продукцию и его изменение при изменениях выпуска

продукции П1, П2, П3, П4, П5		соответственно +10, -15, +10, -10,
+5 единиц.
Решение. Обозначим		вектор	выпуска	продукции
	, а вектор расхода сырья
b bx ,by ,bz	, а вектор расхода сырья		y 10,2,5,8,6 . Тогда
суммарный	расход сырья	S есть скалярное		произведение

векторов x и y , т. е.

	10	60 2 10 5 80 8 20 6	850	(ед.).
S x, y 40

Применяя свойство скалярного произведения, изменение суммарного расхода сырья можем записать:

S = ( x + x , y ) – ( x , y ) = ( x , y ) = 10 · 10 –

– 15 · 2 + 10 · 5 – 10 · 8 + 5 · 6 = 70. 24

Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)