Материал: Механика деформируемого твердого тела
Критерий
Гриффитса
Для
трещины
в
условиях
случае
антиплоского
(
поперечного
)
сдвига
силовой
критерий
выглядит
так
: ,
где
–
феноменологический
параметр
материала
,
измеряемый
экспериментально
,
который
можно
найти
по
справочникам
физических
Н
IIIc
III
K
K
=
IIIc
K
величин
.
Недостаток
силового
критерия
состоит
в
том
,
что
он
не
распространяется
на
более
общий
случай
,
когда
нагружение
представляет
собой
комбинацию
растяжения
и
одного
из
двух
или
двух
сдвигов
(
продольного
и
поперечного
).
В
связи
с
этим
на
практике
используется
так
называемый
энергетический
критерий
Гриффитса
Гриффитса
.
Гриффитс
выдвинул
гипотезу
о
том
,
что
на
образование
новой
свободной
поверхности
при
росте
трещины
затрачивается
энергия
,
пропорциональная
площади
этой
поверхности
.
Коэффициент
пропорциональности
,
имеющий
смысл
удельной
энергии необходимой для образования
1
м
обычно обозначается через
Так как
2
энергии
,
необходимой
для
образования
1
м
,
обычно
обозначается
через
.
Так
как
в
линейной
механике
разрушения
диссипативными
факторами
пренебрегают
,
то
затрачиваемая
на
рост
трещины
энергия
в
точности
равна
упругой
энергии
,
освобождающейся
с
увеличением
ее
размеров
.
Критерий Гриффитса в плоской задаче можно сформулировать в одной из
γ
Критерий
Гриффитса
в
плоской
задаче
можно
сформулировать
в
одной
из
следующих
форм
:
или
где
–
упругая
энергия
,
зависящая
от
длины
трещины
.
Знак
“
минус
”
в
этом
c
U
Δ
=
Δ
−
γ
4
,
4
γ
=
∂
∂
−
c
U
W
критерии
фигурирует
потому
,
что
с
ростом
трещины
энергия
убывает
,
а
коэффициент
объясняется
тем
,
что
общая
площадь
новой
свободной
поверхности
,
учитывая
симметрию
задачи
,
равна
.
c
Δ
4
Инвариантный
J
интеграл
Обобщение
энергетического
критерия
хрупкого
разрушения
на
пластические
материалы
строится
с
помощью
специального
интеграла
,
который
впервые
был
предложен
Ч
Р й
Черепановым
и
Райсом
.
Интеграл
берется
по
криволинейному
контуру
без
самопересечений
,
окружающему
вершину
трещины
.
Концы
контура
должны
лежать
на
противоположных
берегах
Контур
интегрирования
трещины
.
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
=
y
n
x
n
ds
x
u
Y
x
u
X
Wdy
J
Интеграл
вычисляется
через
заданное
поле
напряжений
и
перемещений
:
⎦
⎣
⎠
⎝
∂
∂
L
x
x
где
–
потенциал
линейной
теории
упругости
в
плоской
задаче
,
и
–
проекции
вектора
напряжений
,
действующего
на
площадке
с
нормалью
.
xy
xy
y
y
x
x
W
γ
τ
ε
σ
ε
σ
+
+
=
2
y
xy
x
x
n
n
n
X
τ
σ
+
=
y
y
x
xy
n
n
n
Y
σ
τ
+
=
n
∫
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛
∂
∂
⎟
⎞
⎜
⎛
∂
∂
A
y
x
y
x
d
u
u
d
u
u
W
J
р
J–
интеграл
представим
в
виде
:
Важнейшее
свойство
J–
интеграла
заключается
в
его
инвариантности
,
то
есть
независимости
от
пути
интегрирования
.
Это
свойство
выполняется
потому
,
что
б й
й
фф
∫
⎥
⎦
⎢
⎣
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
∂
+
∂
+
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
∂
−
∂
−
=
A
y
y
x
xy
y
xy
x
x
I
dx
x
x
dy
x
x
W
J
σ
τ
τ
σ
выражение
под
знаком
интеграла
представляет
собой
полный
дифференциал
.
Критерий
разрушения
Критерий
хрупкого
разрушения
можно
представить
в
терминах
J–
интеграла
как
В
этой
форме
критерий
разрушения
обобщается
на
случай
нелинейно
-
упругого
тела
,
й й
γ
2
=
−
J
поскольку
в
нелинейной
теории
упругости
предполагается
существование
потенциала
:
В
этом
состоит
исключительно
важное
свойство
J–
интеграла
.
Именно
в
нелинейных
задачах он широко применяется в практических расчетах элементов конструкций с
x
x
W
ε
σ
∂
∂
=
y
y
W
ε
σ
∂
∂
=
xy
xy
W
γ
τ
∂
∂
=
задачах
он
широко
применяется
в
практических
расчетах
элементов
конструкций
с
трещинами
на
прочность
.
Предположим
,
что
в
соответствие
с
нелинейным
законом
деформирования
напряжение
представляет
собой
степенную
функцию
от
деформации
с
Т
α
ε
σ
~
α
1
+
показателем
степени
.
Тогда
Выясним
,
какой
порядок
роста
вблизи
вершины
трещины
имеют
напряжения
в
этом
случае
.
Если
,
то
Выбирая в качестве контура интегрирования в
J–
интеграле окружность радиуса
r
1
≤
α
α
α
σ
ε
σε
1
~
~
~
+
W
k
~
r
σ
α
α
1
~
+
k
r
W
Выбирая
в
качестве
контура
интегрирования
в
J–
интеграле
окружность
радиуса
r
,
получим
Так
как
значение
J –
интеграла
не
зависит
от
контура
интегрирования
,
то
есть
от
.
~
s
1
1
α
α+
+
∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
=
k
L
y
n
x
n
r
d
x
u
Y
x
u
X
Wdy
J
р
ур
р р
радиуса
окружности
,
то
показатель
степени
здесь
должен
быть
равен
нулю
,
то
есть
,
следовательно
.
0
1
1
=
+
+
α
α
k
)
1
(
+
−
=
α
α
k
Модель
линейной
пластической
зоны
В
общем
случае
зоны
пластической
деформации
и
поле
напряжений
в
окрестности
вершины
трещины
можно
определить
на
основе
й
И
уравнений
теории
пластичности
.
Имеется
простой
,
но
,
к
сожалению
,
достаточно
грубый
,
аналитический
способ
учета
пластической
зоны
,
который
примерно
в
одно
и
то
же
время
был
предложен
с
различных
точек
зрения
Панасюком
–
Леоновым
и
Дагдейлом
.
Панасюк
и
Леонов
рассматривали
трещину
на
атомном уровне Они предположили что
Сила
межатомного
притяжения
атомном
уровне
.
Они
предположили
,
что
нелинейное
взаимодействие
происходит
только
между
двумя
соседними
атомными
плоскостями
.
На
рисунке
вверху
приведена
характерная
зависимость
силы
притяжения
атомов
от
межатомного
расстояния
.
Эта
зависимость
была
приближена
ступенькой
.
Возникла
модель
,
изображенная
на
рисунке
внизу
.
Берега
трещины
,
свободные
от
напряжений
,
как
бы
продолжены
линейной
пластической
зоной
,
в
которой
растягивающее
напряжение
постоянно
и
равно
пределу
текучести
материала
.
Модель
пластической
зоны
р
р д
у
у
р
Решение
задачи
С
помощью
формул
Колосова
–
Мусхелишвили
можно
построить
решение
более
общей
задачи
для
плоскости
с
разрезом
по
действительной
оси
,
когда
на
берегах
разреза
приложено
распределенное
давление
,
а
на
бесконечности
напряжения
равны
нулю
.
В
этом
решении
коэффициент
интенсивности
напряжений
равен
a
x
a
≤
≤
−
)
(
x
p
y
−
=
σ
a
у
В
задаче
с
линейной
пластической
зоной
функцию
нужно
задать
в
виде
∫
−
+
−
=
a
a
I
dx
x
a
x
a
x
p
a
K
)
(
1
π
)
(
x
p
⎨
⎧
≤
=
,
|
|
,
)
(
c
x
если
x
p
σ
Тогда
после
добавления
получится
искомое
решение
,
в
котором
на
продолжениях
берегов
трещины
действует
растягивающее
напряжение
,
а
на
бесконечности
.
Поле напряжений в окрестности точки
в которой заканчивается пластическая зона
⎩
⎨
≤
<
−
=
.
|
|
,
)
(
a
x
c
если
x
p
s
σ
σ
σ
σ
=
0
y
a
x
c
≤
<
|
|
s
y
σ
σ
=
σ
σ
=
y
a
x
=
Поле
напряжений
в
окрестности
точки
,
в
которой
заканчивается
пластическая
зона
,
ограничено
.
Таким
образом
:
Приближенная
формула
для
оценки
протяженности
пластической
зоны
имеет
вид
:
a
x
=
s
a
c
σ
πσ
2
cos
=
2
2
2
⎟
⎞
⎜
⎛
e
K
c
π
σ
π
где
–
коэффициент
интенсивности
,
полученный
по
сингулярному
решению
задачи
о
трещине
в
рамках
теории
упругости
.
Так
как
для
идеальной
пластичности
,
то
,
критерий
роста
трещины
в
терминах
2
8
8
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≈
−
≡
⇒
−
=
s
I
s
K
c
a
d
a
c
σ
π
σ
σ
π
a
K
e
I
π
σ
=
0
=
I
K
д
д
,
,
р
р
р
р щ
р
коэффициента
интенсивности
напряжений
в
этом
случае
неприменим
.
Такой
критерий
формулируется
в
терминах
J –
интеграла
.
Критерий
разрушения
принимает
вид
:
В
таком
виде
он
известен
как
критерий
предельного
раскрытия
трещины
.
I
s
c
σ
γ
δ
2
=