Материал: Механика деформируемого твердого тела
Деформированное
состояние
Д ф р
р
Процесс
геометрических
изменений
,
происходящих
в
твердом
теле
за
некоторый
промежуток
времени
,
называется
деформацией
.
Будем
рассматривать локальные деформации Рассмотрим две бесконечно близкие
рассматривать
локальные
деформации
.
Рассмотрим
две
бесконечно
близкие
точки
тела
,
находящегося
в
недеформированном
состоянии
в
начальный
момент
времени
.
Квадрат
расстояния
между
этими
точками
равен
( )
2
(1.5)
Здесь
-
символ
Кронекера
.
В
деформированном
состоянии
квадрат
расстояния
между
этими
же
точками
будет
равен
( )
j
i
ij
2
d
d
dL
ξ
ξ
δ
=
ij
δ
( )
2
d
d
dl
δ
(1.6)
Разность
(1.6)
и
(1.5)
в
ДТТ
используется
как
мера
деформации
некоторой
окрестности
этих
частиц
между
начальным
и
конечным
состоянием
.
( )
j
i
ij
2
dx
dx
dl
δ
=
Из
закона
движения
(1.2)
дифференциал
расстояния
в
деформированном
состоянии
имеет
вид
А
(1 3)
ф
j
j
i
i
d
x
dx
ξ
ξ
∂
∂
=
Аналогично
,
из
(1.3)
для
недеформированного
состояния
j
j
i
i
dx
x
d
∂
∂
=
ξ
ξ
Тензоры
деформаций
Грина
и
Альманси
Меру
деформации
можно
представить
в
виде
:
где величины
являются компонентами тензора второго ранга
( ) ( )
j
i
ij
2
2
d
d
L
2
dL
dl
ξ
ξ
=
−
L
где
величины
являются
компонентами
тензора
второго
ранга
который называется тензором конечных деформаций Грина
ij
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
=
ij
j
k
i
k
IJ
x
x
L
2
1
δ
ξ
ξ
который
называется
тензором
конечных
деформаций
Грина
.
Этот
тензор
можно
представить
через
перемещения
в
виде
:
(1.7)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
k
k
j
i
IJ
u
u
u
u
L
2
1
ξ
ξ
ξ
ξ
Ту
же
самую
меру
деформации
можно
представить
в
виде
:
где величины
являются компонентами тензора второго ранга
⎠
⎝
∂
∂
∂
∂
j
i
i
j
2
ξ
ξ
ξ
ξ
( ) ( )
j
i
ij
2
2
dx
dx
A
2
dL
dl
=
−
A
где
величины
являются
компонентами
тензора
второго
ранга
который называется тензором конечных деформаций Альманси
ij
A
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
=
j
k
i
k
ij
IJ
x
x
A
2
1
ξ
ξ
δ
который
называется
тензором
конечных
деформаций
Альманси
.
Этот
тензор
можно
представить
через
перемещения
в
виде
(1.8)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
k
k
j
i
IJ
x
u
x
u
x
u
x
u
A
2
1
⎟
⎠
⎜
⎝
∂
∂
∂
∂
j
i
i
j
x
x
x
x
2
Линейный
тензор
деформаций
р
ф р
Если
компоненты
градиента
перемещения
в
(1.7)
малы
по
сравнению
с
единицей
,
то
их
произведением
можно
пренебречь
.
В
результате
получим
лагранжев
тензор
малых
деформаций
(
тензор
малых
деформаций
Коши
).
Аналогично
,
если
д ф р
ц
(
р
д ф р
ц
)
,
компоненты
градиента
перемещения
в
(1.8)
малы
по
сравнению
с
единицей
,
то
их
произведения
тоже
можно
отбросить
.
В
результате
получим
эйлеров
тензор
малых
деформаций
.
Если
к
тому
же
и
компоненты
самого
перемещения
малы
по
сравнению
с
единицей
,
то
разница
между
материальными
и
пространственными
координатами
очень мала и тензоры считаются равными друг другу а получившийся тензор
очень
мала
и
тензоры
считаются
равными
друг
другу
,
а
получившийся
тензор
называется
тензором
линейных
деформаций
и
имеет
вид
(1.9)
Скорость точки в лагранжевых координатах определяется через вектор
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
ε
Скорость
точки
в
лагранжевых
координатах
определяется
через
вектор
перемещения
в
виде
а в эйлеровых координатах
t
u
v
i
i
∂
∂
=
а
в
эйлеровых
координатах
Функция
представляет
поле
скоростей
.
Линией
тока
для
поля
скоростей
в
некоторый момент времени называется кривая касательная к которой в любой точке
dt
du
v
i
i
=
(
)
t
x
v
v
i
i
i
,
=
некоторый
момент
времени
называется
кривая
,
касательная
к
которой
в
любой
точке
совпадает
по
направлению
со
скоростью
в
этой
точке
.
Движение
называется
установившемся
,
если
поле
скорости
не
зависит
от
времени
.
Для
установившегося
движения
линии
тока
и
траектории
частиц
совпадают
.
Тензор
скоростей
деформаций
.
Тензор
вихря
Тензором
скоростей
деформаций
(
формулы
Стокса
)
называется
симметричный
тензор второго ранга компоненты которого имеют вид
тензор
второго
ранга
,
компоненты
которого
имеют
вид
Антисимметричный
тензор
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
v
v
v
2
1
ξ
ξ
называется тензором завихренности или вихря
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
v
v
w
ξ
ξ
2
1
называется
тензором
завихренности
,
или
вихря
.
Можно
показать
,
что
компоненты
тензора
конечных
деформаций
Альманси
связаны
с
компонентами
тензором
скоростей
деформаций
соотношениями
dA
v
ij
=
а
эйлеров
тензор
линейного
поворота
с
вихрем
dt
v
ij
=
dt
d
w
ij
ij
ω
=
называется
тензором
завихренности
,
или
вихря
.
Тензор
деформаций
вводят
в
результате
сравнения
двух
состояний
ДТТ
,
а
введенный
тензор
скоростей
деформаций
является
характеристикой
данного
состояния в данный момент времени
.
dt
состояния
в
данный
момент
времени
.
Тензор
линейного
поворота
Дифференциал
перемещения
равен
j
i
i
dx
u
du
∂
∂
=
Так
как
матрицу
можно
единственным
образом
разложить
в
симметричную
и
антисимметричную
части
,
то
дифференциал
перемещения
можно
записать
в
виде
j
j
i
x
∂
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
Тензор
j
i
j
j
i
i
j
j
i
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
du
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
Тензор
й
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
W
называется
тензором
линейного
поворота
.
Если
тензор
(1.9)
линейной
деформации
тождественно
равен
нулю
,
то
перемещение
будет
бесконечно
малым
поворотом
абсолютно
твердого
тела
.
Последняя
формула
определяет
вектор
линейного
поворота
в
виде
где
-
тензор
третьего
ранга
Леви
-
Чивита
.
kj
ijk
W
2
1
i
ε
ω
=
ijk
ε