Материал: Механика деформируемого твердого тела

Основы

физики

прочности

ф

р

„

Прочностью

называется

способность

элементов

конструкций

сопротивляться

внешним

нагрузкам

и

, 

таким

образом

, 

функционировать

в

требуемом

режиме

достаточно

продолжительное

время

. 

Р

й

б

„

Разрушение

–

потеря

прочности

элементов

 –

выход

по

какой

-

либо

причине

из

эксплуатационного

режима

„

По

характеру

различаются

следующие

четыре

типа

разрушения

:

9

разрушение

при

упругой

деформации

;

9

разрушение

при

пластической

деформации

;

9

разрыв

 (

разделение

на

части

);

9

изменение

свойств

материала

 (

металлургическое

или

химическое

).

„

Причина

разрушения

характеризуется

:

р

р ру

р

р у

9

видом

нагрузки

 (

установившаяся

, 

неустановившаяся

, 

циклическая

);

9

длительностью

процесса

 (

малая

, 

средняя

, 

продолжительная

);

9

температурой

 (

низкая

, 

средняя

, 

повышенная

).

„

По месту разрушения могут быть объемные и поверхностные

„

По

месту

разрушения

могут

быть

объемные

и

поверхностные

.

„

К

примеру

, 

пластическое

течение

 –

это

объемное

разрушение

под

действием

установившейся

нагрузки

при

комнатной

температуре

в

условиях

пластической

деформации

. 

Другой

пример

 –

многоцикловая

усталость

 –

это

объемное

разрушение

при

упругой

деформации

под

действием

циклической

нагрузки

в

течение

М

й

продолжительного

времени

. 

Малоцикловая

усталость

отличается

от

многоцикловой

только

средней

продолжительностью

процесса

. 

Коррозия

 –

это

поверхностное

разрушение

под

действием

установившейся

нагрузки

при

нормальной

температуре

, 

вызванное

электрохимическим

изменением

свойств

материала

. 

Дефекты

кристаллической

структуры

„

Разделяют

два

типа

дефектов

 –

точечные

дефекты

и

дислокации

. 

„

К

точечным

дефектам

относятся

вакансии

, 

когда

в

д ф

,

д

регулярной

атомной

решетки

по

какой

либо

причине

теряется

один

из

атомов

, 

а

также

примесные

атомы

, 

когда

, 

наоборот

, 

из

-

за

внешних

воздействий

появляется

лишний

атом

Д

б

Точечные

дефекты

„

Дислокации

бывают

краевые

и

винтовые

.

Идеальный

кристалл

и

краевая

дислокация

Винтовая

дислокация

„

Краевые

дислокации

возникают

из

-

за

обрыва

атомных

плоскостей

. 

Исчезновение

части

некоторой

атомной

плоскости

приводит

к

тому

, 

что

атомы

смежных

с

нею

плоскостей

сближаются

. 

Образуется

нерегулярная

 (

дефектная

) 

структура

. 

Вектор

относительного

р

р

смещения

атомов

в

физике

прочности

называется

вектором

Бюргерса

. 

Для

краевой

дислокации

этот

вектор

перпендикулярен

атомным

плоскостям

идеальной

решетки

.

„

Винтовые

дислокации

образуются

за

счет

антиплоского

сдвига

соседних

атомных

плоскостей

. 

В

случае

винтовой

дислокации

вектор

Бюргерса

  

параллелен

атомным

плоскостям и направлен вдоль линейной цепочки атомов

плоскостям

и

направлен

вдоль

линейной

цепочки

атомов

.

Перемещения

дислокаций

„

При

деформации

кристалла

дислокации

могут

перемещаться

. 

Типичная

схема

продвижения дислокации за счет вакансии

продвижения

дислокации

за

счет

вакансии

, 

которая

образуется

на

границе

кристалла

, 

приведена

на

рисунке

вверху

. 

Соседние

дислокации

разного

знака

, 

у

которых

векторы Бюргерса равны по модулю и

векторы

Бюргерса

равны

по

модулю

и

противоположны

по

направлению

, 

могут

взаимно

уничтожать

друг

друга

 (

см

. 

рисунок

внизу

). 

В

результате

происходит

самоупорядочение

дефектной

структуры

с

б

Перемещение

дислокации

образованием

идеального

кристалла

.

„

Может

происходить

также

объединение

дислокаций

 (

как

краевых

, 

так

и

винтовых

) 

с

последующим

их

объединением

. 

При

объединении

одноименных

дислокаций

с

параллельными

векторами

Бюргерса

образуется

дислокация

с

суммарным

вектором Так происходит зарождение

вектором

. 

Так

происходит

зарождение

трещин

в

твердых

деформируемых

телах

. 

Уничтожение

дислокаций

Винтовая

дислокация

„

Сингулярное

решение

уравнений

линейной

теории

упругости

, 

относящееся

к

случаю

винтовой

дислокации

, 

строится

с

помощью

уравнений

антиплоской

деформации

, 

при

которой

материальные

точки

тела

перемещаются

на

величину

           

в

Об

)

,

(

y

x

u

xy

направлении

, 

перпендикулярном

плоскости

    . 

Общее

решение

, 

описывающее

антиплоскую

деформацию

, 

строится

с

помощью

аналитической

функции

        

комплексной

переменной

             . 

Формулы

для

определения

    

и

отличных

от

нуля

касательных

напряжений

     

и

     , 

действующих

на

)

,

(

y

xy

)

(

z

ϕ

iy

x

z

+

=

u

x

τ

y

τ

у

р

,

д

у щ

координатных

площадках

в

направлении

перемещения

, 

имеют

вид

y

).

(

'

),

(

Re

1

z

i

z

u

y

x

ϕ

τ

τ

ϕ

μ

=

−

=

ϑ

ϕ

−

≡

=

|

|

ln

ln

)

(

z

iA

z

iA

z

μ

A

„

Полагая

где

–

модуль сдвига

–

действительная константа

(5.1)

Труба

с

разрезом

ϑ

ϕ

|

|

ln

ln

)

(

z

iA

z

iA

z

μ

A

z

arg

=

ϑ

μ

ϑ

A

u

−

=

„

Полагая

                                      , 

где

     

модуль

сдвига

,    

действительная

константа

, 

а

              , 

получим

                . 

При

положительном

обходе

вокруг

точки

      

перемещение

получает

приращение

, 

равное

вектору

Бюргерса

 –

относительному

смещению

берегов

разреза

вдоль

полуоси

        . 

Следовательно

,                     .

„

Справедливо

соотношение

)

2

(

π

μ

b

A

−

=

0

=

z

0

≥

x

x

b

y

b

=

−

=

μ

τ

μ

τ

„

В

точке

        (

на

оси

дислокации

) 

касательные

напряжения

имеют

неинтегрируемую

особенность

. 

В

то

же

время

они

непрерывны

всюду

за

исключением

этой

точки

. 

Напряжение

, 

которое

действует

на

окружности

радиуса

оказывается

равным

нулю

.

.

2

,

2

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

+

=

+

=

π

τ

π

τ

0

=

z

ƒ

Полученное

решение

описывает

напряженно

–

деформированное

состояние

бесконечно

длинной

свободной

от

напряжений

толстостенной

трубы

, 

которая

была

разрезана

по

образующей

и

после

смещения

берегов

разреза

на

величину

   

склеена

без

каких

-

либо

дефектов

. 

b

Линейная

теория

разрушений

„

Основная

задача

линейной

механики

разрушений

состоит

в

изучении

поведения

трещины

в

упругом

теле

, 

к

которому

приложена

заданная

система

сил

. 

В

зависимости

от

уровня

возникающих

при

этом

напряжений

трещина

может

находиться в состоянии устойчивого равновесия

,

а может лавинообразно расти

,

что

находиться

в

состоянии

устойчивого

равновесия

, 

а

может

лавинообразно

расти

, 

что

приводит

к

разделению

тела

на

части

.  

„

Рассмотрим

сначала

несколько

точных

решений

задач

теории

упругости

для

бесконечного

упругого

пространства

с

линейной

трещиной

. 

Первое

из

них

строится

на

основе

комплексного

представления

 (5.1) 

общего

решения

задачи

об

антиплоской

ф

П

⎞

⎛

деформации

. 

Пусть

„

В

этом

случае

перемещение

.

2

cos

2

sin

)

(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

ϑ

ϑ

ϕ

i

r

A

z

iA

z

2

sin

ϑ

μ

r

A

u

=

представляет

собой

разрывную

функцию

при

         . 

Решение

описывает

напряженно

–

деформированное

состояние

вокруг

линейной

трещины

, 

проходящей

вдоль

полуоси

   

с

поперечным

сдвигом

берегов

по

закону

                        

ƒ

Напряжения

можно

найти

из

уравнения

π

ϑ

=

0

<

x

π

π

δ

r

A

r

u

2

)

,

(

2

=

=

.

2

)

(

'

y

x

i

iA

z

τ

τ

ϕ

−

=

−

=

„

Обычно

вместо

константы

     

вводится

                      , 

так

называемый

коэффициент

интенсивности

напряжений

, 

с

помощью

которого

решение

представляется

в

форме

2

y

z

A

2

π

A

K

III

=

ϑ

τ

ϑ

τ

r

K

u

K

K

III

III

III

2

cos

sin

=

=

=

π

μ

π

τ

π

τ

u

r

r

y

x

,

2

cos

2

,

2

sin

2

=

=

−

=