Материал: Механика деформируемого твердого тела
Задача
разрушения
стержня
при
ползучести
Определить
время
,
за
которое
стержень
,
имеющий
начальную
длину
и
ф
б
0
l
S
поперечное
сечение
,
растянется
за
счет
деформации
ползучести
до
бесконечных
размеров
под
действием
постоянной
осевой
силы
.
В
этой
задаче
упругую
деформацию
стержня
можно
не
учитывать
.
Определяющее
уравнение
теории
течения
запишем
в
виде
0
S
P
n
B
σ
ε
=
&
Для
простоты
будем
считать
материал
несжимаемым
.
В
этом
случае
объем
стержня
не
меняется
: ,
зато
меняется
его
длина
и
поперечное
сечение
.
Напряжение
в
стержне
также
является
величиной
переменной
:
.
B
σ
ε
=
0
0
l
S
l
S
=
l
Pl
P
Деформация
за
бесконечно
малое
время
равна
относительному
удлинению
стержня
,
поэтому
.
0
0
0
0
l
l
S
S
σ
σ
=
=
=
t
Δ
.
ln
:
l
d
d
l
l
l
l
t
=
=
Δ
=
Δ
&
&
&
ε
ε
Искомая
зависимость
принимает
следующий
вид
:
При
некоторой
достаточно
большой
длине
стержня
происходит
его
разрушение
.
Считая длину в момент разрушения бесконечной по этой формуле можно
dt
l
l
)
(
t
l
n
n
nB
l
l
.
1
0
0
σ
−
=
Считая
длину
в
момент
разрушения
бесконечной
,
по
этой
формуле
можно
определить
долговечность
и
предел
длительной
прочности
–
начальное
напряжение
,
под
действием
которого
стержень
сохраняет
ресурс
заданное
время
:
n
n
nBt
B
t
.
1
,
1
0
0
=
=
σ
n
nBt
nB
0
σ
Задача
ползучести
вращающегося
диска
Требуется
определить
напряженное
и
деформированное
состояние
диска
радиуса
переменной
толщины
,
вращающегося
длительное
время
с
постоянной
угловой
скоростью
.
Упругой
деформацией
диска
можно
пренебречь
.
a
)
(
r
h
ω
у
Решение
задачи
Запишем
уравнение
движения
диска
в
проекции
на
радиальную
ось
с
учетом
центробежной
силы
инерции
,
играющей
в
данном
случае
роль
массовой
силы
:
Задача о
r
(
)
2
2
d
Задача
о
вращающемся
диске
Здесь
и
–
отличные
от
нуля
радиальное
и
окружное
напряжения
.
Уравнения
совместности
имеют
вид
(
)
.
0
2
2
=
+
−
r
h
h
rh
dr
d
r
ω
ρ
σ
σ
ϕ
r
σ
ϕ
σ
Для
замыкания
к
системе
уравнений
необходимо
добавить
определяющие
уравнения
.
0
=
−
+
r
dr
d
r
ε
ε
ε
ϕ
ϕ
&
&
&
(
)
(
)
2
2
1
1
n
n
B
B
−
−
&
&
причем
Полученная
замкнутая
система
четырех
уравнений
с
четырьмя
неизвестными
функциями
решается
с
учетом
граничного
условия
на
внешнем
контуре
и
условия
ограниченности радиального напряжения в центре диска
После этого еще одна
(
)
(
)
,
2
,
2
1
1
r
n
i
r
n
i
r
B
B
σ
σ
σ
ε
σ
σ
σ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
=
2
2
ϕ
ϕ
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
=
r
r
i
0
=
r
σ
a
r
=
0
=
r
ограниченности
радиального
напряжения
в
центре
диска
.
После
этого
еще
одна
отличная
от
нуля
компонента
тензора
скоростей
деформации
по
оси
может
быть
найдена
как
.
При
произвольной
заданной
зависимости
решение
задачи
строится
численно
с
привлечением
методов
решения
краевых
задач
для
систем
обыкновенных
фф
й
0
=
r
h
h
z
&
&
=
ε
ϕ
ε
ε
ε
&
&
&
−
−
=
r
z
)
(
r
h
дифференциальных
уравнений
.
Задача
течения
вязкопластической
среды
в
трубе
Требуется
определить
распределение
скорости
при
установившемся течении вязкопластической среды за счет
установившемся
течении
вязкопластической
среды
за
счет
собственного
веса
в
вертикальной
трубе
радиуса
.
Заданы
плотность
среды
,
предел
текучести
и
вязкость
.
На
стенках
трубы
выполняется
условие
полного
прилипания
.
Пусть
и
–
радиальная
и
осевая
координаты
точки
.
В
этой
a
ρ
s
τ
η
r
z
задаче
отлично
от
нуля
касательное
напряжение
,
остальные
компоненты
тензора
напряжений
в
цилиндрической
системе
координат
тождественно
равны
нулю
.
Выполняется
дифференциальное
уравнение
равновесия
в
проекции
на
ось
,
в
которое
входит
ускорение
свободного
падения
:
Течение
в
трубе
τ
τ
=
rz
g
z
Отсюда
,
с
учетом
ограниченности
касательного
напряжения
при
следует
,
что
оно
линейно
зависит
от
радиуса
:
Если
то напряжение всюду не превосходит предела текучести и так как на
.
0
)
(
1
=
−
g
dr
r
d
r
ρ
τ
0
=
r
.
2
gr
ρ
τ
=
)
(
2
g
c
a
ρ
τ
≡
≤
Если
,
то
напряжение
всюду
не
превосходит
предела
текучести
,
и
так
как
на
стенках
трубы
выполняется
условие
прилипания
,
среда
не
движется
.
При
вблизи
оси
трубы
возникает
застойная
зона
,
движущаяся
как
жесткое
целое
.
Радиус
этой
зоны
равен
.
Вертикальная
скорость
в
области
течения
находится
из
определяющего
уравнения
)
(
2
g
c
a
s
ρ
τ
≡
≤
c
a
>
c
v
v
z
=
d
d
&
для
скорости
сдвига
:
Такое
распределение
скорости
реализуется
только
в
области
течения
.
В
застойной
зоне
скорость
постоянна
и
равна
dr
dv
rz
=
γ
&
.
)
(
4
)
(
2
2
η
τ
η
ρ
a
r
a
r
g
v
s
−
−
−
=
c
r
>
.
)
(
4
)
(
)
(
2
2
τ
ρ
a
c
a
c
g
c
v
s
−
−
−
=
4
)
(
η
η
Задача
течения
в
вискозиметре
Шведова
р
Требуется
описать
вращательное
движение
невесомой
вязкопластической
среды
между
двумя
коаксиальными
цилиндрами
радиуса
и
радиуса
,
считая
,
что
внутренний
цилиндр
неподвижен а внешний вращается вокруг своей оси с постоянной
a
a
b
>
неподвижен
,
а
внешний
вращается
вокруг
своей
оси
с
постоянной
угловой
скоростью
,
если
на
стенках
цилиндров
выполняется
условие
прилипания
.
При
вращательном
движении
отлично
от
нуля
касательное
напряжение
,
которое
удовлетворяет
дифференциальному
уравнению равновесия в проекции на радиальную ось
ω
τ
τ
ϕ
=
r
уравнению
равновесия
в
проекции
на
радиальную
ось
цилиндрической
системы
координат
:
Вблизи
внешнего
цилиндра
может
образоваться
застойная
зона
,
в
которой
напряжение
не
достигает
предела
текучести
,
и
среда
не
Вращательное
движение
.
0
2
=
+
r
dr
d
τ
τ
р
р
д
р д
у
,
р д
деформируется
.
Напряжение
записывается
в
виде
Здесь
-
касательное
напряжение
на
внутреннем
цилиндре
Решение
задачи
.
r
a
2
2
0
τ
τ
=
0
τ
.
ln
1
1
2
)
(
2
2
2
0
a
b
b
a
a
b
b
v
s
η
τ
η
τ
ω
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
построено
полностью
.
Оно
получено
в
параметрической
форме
.
Задавая
величину
в
пределах
от
до
,
получаем
распределение
касательного
напряжения
и
скорости
в
области
.
2
a
b
a
b
η
η
⎠
⎝
0
τ
s
τ
2
2
a
b
s
τ
c
r
a
≤
≤
5.
Введение
в
механику
разрушений