Материал: Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Измерения в телекоммуникационных системах». Никулин Д.А., Щербаков В.Б

Лабораторная работа № 2 Измерения случайных величин, процессов и полей

Цель занятия: Изучение и практическая отработка метода измерения случайных величин, процессов и полей и обработки результатов измерений.

Теоретические сведения

Термин «измерение случайных величин» можно понимать как условный; на самом деле измеряются числовые характеристики их законов распределения вероятности, которые, как известно, не являются случайными. Установить размер или измерить значение случайной величины нельзя именно потому, что они случайные [4].

С помощью однократного измерения определить вероятные характеристики случайной величины, естественно, невозможно.

Многократное измерение нужно стремится организовать так, чтобы рассеянием результата из-за случайности отсчета можно было пренебречь по сравнению с рассеянием из-за случайного характера самой измеряемой величины. Тогда при монотонных функциях преобразования закон распределения вероятности измеряемой величины p(Q) находится путем преобразования закона распределения вероятности показания средства измерений px(X) по формуле

. (2.1)

Если случайным характером отсчета пренебречь нельзя, то закон распределения вероятности результата измерения должен рассматриваться как композиция закона распределения вероятности случайной величины Q и закона распределения вероятности показания при Q = const. Определить искомый закон в этом случае очень сложно, поэтому обычно ограничиваются оценками числовых характеристик закона

9

распределения вероятности случайной величины Q. Оценка ее среднего значения равна среднему арифметическому результатов однократных измерений, а оценки дисперсии - разностями между оценками дисперсий композиции и показания при Q = const.

Изменение физической величины во времени называется процессом. Если при повторениях он каждый раз протекает случайным образом, то это случайный процесс.

Существуют два способа описания случайных процессов. При первом из них каждому текущему моменту времени t ставятся в соответствие случайные величины xi{1,...n}; при втором - случайный процесс Q(t) задается множеством своих реализаций x(t). Случайные величины xi в каждом сечении t = const подчиняются определенному закону распределения вероятности. Если он одинаков для любого сечения, т. е. не зависит от времени, то процесс называется стационарным; в противном случае - нестационарным. Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, заключающемся в том, что вероятностные характеристики, вычисленные по множеству реализаций и по любой из них, равны между собой. Это позволяет при измерениях обходиться одной реализацией стационарного случайного процесса [3].

Исчерпывающая информация о случайном процессе содержится в его многомерной интегральной функции распределения вероятности

характеризующей вероятность того, что в моменты времени ti случайные величины xi не превысят определенных своих значений, и в многомерной дифференциальной функции (плотности) распределения вероятности

(2.3)

10

На практике ограничиваются оцениванием числовых характеристик, или моментов, которые в общем случае являются функциями времени. Они представляют собой некоторые средние значения, причем для неэргодических случайных процессов усреднение должно производиться по множеству реализаций, а для эргодических может выполнятся по одной из них.

Для стационарного случайного процесса, в частности, начальный момент первого порядка определяется как

(2.4)

Это так называемая постоянная составляющая стационарного случайного процесса, которую редко определяют, так как измерительная задача обычно заключается в выяснении динамики, развития влияния [4].

Мерой статистической связи между значениями стационарного случайного процесса без постоянной

будет зависеть только от . В силу эргодичности он равен

(2.5)

С переходом от фиксированного времени к текущему корреляционный момент стал функцией [2].

Определенная выражением (2.5) корреляционная функция обладает следующими свойствами.

1.При =0 корреляционная функция

максимальна и равна дисперсии стационарного случайного процесса. Если измеряемой

11

физической величиной является, например, сила тока I(t), то - полная мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом . В этом случае, когда процесс имеет постоянную и

переменную составляющие, , где 2 и - мощности соответственно переменной и постоянной составляющих.

Максимальное значение корреляционной функции при =0 объясняется тем, что статистическая связь между неразличимыми по времени значениями x(t) является наибольшей. Корреляционную функцию часто нормируют по

ее максимальному значению:

(2.6)

2.Корреляционная функция является четной, т. е.

. Это можно показать в качестве текущего момента времени t1=t и обозначив t1=t2+ . Спектр корреляционной функции состоит, следовательно, только из

детерминированной составляющей.

4.Корреляционная функция (t) монохроматического колебания является косинусоидой с такой же частотой. Доказательство этого важного свойства будет рассмотрено ниже, а важным следствием является то, что при корреляционном преобразовании теряется информация о фазовой структуре процесса.

5.Корреляционная функция суммы независимых процессов равна сумме их корреляционных функций. Вместе с предыдущим это свойство используется в оптимальной фильтрации для суммирования гармоник сигнала в момент =0.

6.Корреляционная функция связана со спектром мощности случайного процесса прямым и обратным преобразованиями Фурье:

12