Материал: Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине Математическое моделирование в машиностроении. Перова А.В

Продолжение табл. 2

• эксцессу

• среднему квадратическому отклонению асимметрии

• среднему квадратическому отклонению эксцесса

Заключение о соответствии делается сравнением абсолютных значений асимметрии и эксцесса с величинами их средних квадратических отклонений. Если выполняются условия

то распределение опытных данных не противоречит нормальному закону.

1.2.2. Оценка соответствия по критерию Смирнова

По этому критерию оцениваются опытные данные при сравнительно малом объеме наблюдений (до 100); предварительно они представляются в виде вариационного ряда.

где n — число наблюдений; p_i — теоретическая вероятность p^*_i — накопленная частота .

Полученное значение сопоставляется с критическим (предельным) Zα соответственно выбранной значимости α (обычно 0,05). Если выполняется условие

то распределение опытных данных не противоречит нормальному.

Заметим, что при определении теоретического значения вероятности надо пользоваться табличной функцией нормального распределения, приведенной в приложении П 3.1 [1], ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения.

1.2.3. Оценка соответствия по критерию Пирсона

По этому критерию оцениваются распределения при большом объеме наблюдений (более 100) с расположением их в статистический ряд. Необходимое для оценки значение критерия хи-квадрат определяется по зависимости

где k — число интервалов в статистическом ряду; m — число наблюдаемых данных в i-ом интервале.

Необходимые значения теоретической вероятности применительно к каждому разряду надо определять с помощью табличной функции нормального распределения, ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения. Соответствие оценивается сравнением расчетного значения критерия с предельным (табличным) значением критерия (приложение П 3.4 [1]) с учетом выбранного уровня значимости и числа степеней свободы r=k-3.

Если выполняется условие:

то опытное распределение не противоречит нормальному закону.

Задача 1.2. Оценить соответствие нормальному закону данных, приведенных в табл. 1 и 2 по всем критериям (подразд. 1.2.1; 1.2.2 и 1.2.3).

Оформление отчета

По результатам оценки соответствия наблюдаемых данных нормальному распределению (разд. 1.2) составляют краткий отчет, в котором указываются название и цель задания, а также приводятся:

• исходные данные;

• использованные таблицы и программы;

• полученные числовые характеристики и критерии.

Отчет заканчивается сопоставлением критериев и выводом о соответствии оцениваемых данных нормальному распределению.

2. Вероятностные оценки показателей свойств материалов

Основные числовые характеристики свойств в случае определения их по наблюдаемым данным являются статистическими оценками рассматриваемого показателя. С их помощью можно получить и другие важные для практики статистические оценки.

2.1. Отбрасывание резко выделяющихся наблюдений

Рассеяние свойств материалов определяется в основном их неоднородностью. Однако оно может в некоторых случаях резко возрастать за счет грубых ошибок, например, вследствие погрешности при замерах. Это можно сделать, ориентируясь на значения специальных критериев.

Так, с помощью критерия Ирвина можно определить, принадлежит ли минимальное и максимальное значения (первое и последнее в вариационном ряду) к одной генеральной совокупности.

С этой целью вычисляют нижнее и верхнее значения критериев:

и сопоставляют их с критическим значением, принятым для определенной доверительной вероятности (p=1-α). Критические значения надо взять по приложению П 3.7 [1]; уровень значимости α обычно берется 0,05 или 0,01.

Если расчетные значения меньше критического, то отклонение минимального и максимального значений считается случайным и они не отбрасываются; в противном случае соответствующие значения исключаются из дальнейшего рассмотрения и проверка делается вновь.

Задача 2.1. Определить принадлежность наименьшего и наибольшего значений вариационного ряда в распределении наблюдаемых данных, представленных в табл. 1.

Напомним, что необходимое для расчета значение среднего квадратичного отклонения было получено ранее (см. разд. 1.1).

Заключение, сделанное по критерию Ирвина, надо сопоставить с решением этой же задачи по правилу двух и трех сигм.

2.2. Определение доверительного интервала для среднего значения

Рассчитанное по наблюдаемым данным среднее значение является приближенной оценкой истинного значения (математического ожидания). Поэтому важно определить точность и достоверность полученной оценки, т. е. указать интервалы, соответствующие определенной (доверительной) вероятности.

В часто встречающихся на практике случаях, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна и ее оценка определяется по выборке, доверительный интервал определяется по формуле

где n — объем выборки; t_β — коэффициент Стьюдента с вероятностью β при степенях свободы r=n-1.

Значения коэффициентов табулированы, их следует взять по табл. П 3.3 [1].

Задача 2.2. Определить доверительный интервал для среднего значения наблюдаемых данных, приведенных в виде вариационных рядов в табл. 1 при доверительной вероятности 0,90.

Задача решается с использованием ранее полученного среднего квадратического отклонения (см. п. 1.1). Оценку по результатам расчета надо сравнивать с оценкой в предложении, что полученное среднее квадратичное отклонение соответствует генеральной совокупности. При этом надо воспользоваться зависимостью

2.3. Оценка гарантируемого уровня

Гарантируемым считается уровень, отвечающий требуемой (установленной) вероятности; на практике это сдаточный уровень. Иногда, наоборот, оценивается вероятность обеспечения (достижения) требуемого уровня свойств.

Предположим, установлен сдаточный уровень не ниже x₁.

В таком случае вероятность выполнения требования будет

а при переходе к нормированному распределению —

Напомним, что

F₀(-U) = 1 - F₀(U).

Задача 2.3. Определить вероятность выполнения сдаточного уровня, соответствующего третьему члену вариационного ряда, приведенного в табл. 1; определить также значение сдаточ­ного уровня, отвечающего вероятности 0,9.

Необходимые при решении задачи основные числовые харак­теристики распределения получены ранее (см. разд. 1.1). Значе­ния нормированной функции, как уже указывалось, нужно брать по приложению П 3.1 [1].

4. Оценка вероятности попадания в установленные пределы

Вероятность попадания в интервал между х, и х₂ будет определяться:

P(x₁<х≤х₂) = F(x₂)-F(x₁).

Или с помощью нормированной функции:

P(x₁<х≤х₂) = F₀(U₂) - F₀(U,) при

Задача 2.4. Применительно к распределению, приведенному в табл. 1., определить вероятность попадания в интервал ме­жду вторым и предпоследним членами вариационного ряда; оп­ределить также значения верхнего предела интервала для вероят­ности 0,7 при неизменном нижнем значении ряда.

Напомним, что основные числовые характеристики распреде­ления были получены при решении предыдущих задач, а значе­ния нормированной функции надо взять по приложению П 3.1 [1].