Материал: Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине Математическое моделирование в машиностроении. Перова А.В

Примечание. Приведенные данные соответственно характеризуют: 0, 2 — предел усталости в зависимости от предела прочности (МПа) стали и алюминиевого сплава, соответственно; 1 — предел усталости в зависимости от предела прочности (МПа) 14 марок стали; 3 — логарифм от числа циклов нагружения в зависимости от логарифмов разрушающих напряжений в стали (МПа); 4 — коррозионные потери хромоникелевого сплава (мг/дм2, день) в морской воде в зависимости от процентного содержания железа; 5 — логарифм от числа циклов до разрушения сплава в зависимости от нагрузки (МПа); 6 — логарифмы долговечности нержавеющей стали в зависимости от нагрузки (МПа); 7 — разрушающие напряжение стали (МПа) в зависимости от логарифмов числа циклов нагружения; 8 — логарифмы кратковременной прочности мартенситно стареющей стали (МПа) в зависимости от логарифмов температуры нагрева (°С); 9 — степень диссоциации специального карбида в стали в зависимости от логарифмов температуры нагрева (°С).

3.2.3. Логарифмическая зависимость

Эта часть работы выполняется аналогично предыдущей, но с одновременным преобразованием исходной пары величин и получением уравнения вида: lg y = a lg x + b.

В качестве исходных берутся те же данные, которые использовались при полулогарифмической аппроксимации.

Задача 3.3. Определить логарифмическую функцию эксплуатационных свойств по опытным данным, приведенным в табл. 4; оценить рассеяние вокруг линии регрессии опытных данных сравнением их с расчетными, подобно тому, как это делалось в предыдущей задаче; полученные результаты по рассеянию вокруг линии регрессии сравнить с соответствующими результатами полулогарифмической аппроксимации.

Таблица 4

Исходные данные для аппроксимации нелинейной

зависимости

Продолжение табл. 4

№ набл	5		6		7		8		9
	x	у	x	у	x	у	x	у	x	у
1	40	545	20	2100	93	880	100	81	100	11,6
2	42	490	50	2080	148	840	150	80	200	11,4
3	45	450	100	2050	204	780	200	78	300	10,7
4	47	350	150	2000	260	720	250	76	400	10
5	50	140	175	1900	316	660	300	75	430	9,4
6	52	140	200	1850	343	630	350	'72	490	8,8
7	55	120	250	1800	371	580	400	69	580	7,0
8	57	65	300	1750	399	560	450	64	600	7,6
9	60	25	350	1700	427	510	500	57	650	5,7
10	62	30	400	1600	454	460	550	54	700	4,3
11	65	15	450	1500	482	420	600	45	800	3,1
12	70	15	500	1400	510	360	650	39	870	2,0
13	75	15			538	280	700	28
14							800	12
15							900	6

Примечание. Приведенные данные соответственно вариантам характеризуют: 0 — степень диссоциации специального карбида в стали в зависимости от температуры (°С); 1 — длительную прочность стали (МПа) в зависимости от времени нагружения (час); 2, 4, 5 — долговечность (число циклов уменьшено в 1000 раз) в зависимости от напряжения (МПа) для сталей (2 и 4) и алюминиевого сплава (5) соответственно; 3, 6 — кратковременная прочность мартенситно-стареющих сталей (МПа) в зависимости от температуры (°С); 7 — кратковременная прочность титанового сплава (МПа) в зависимости от температуры (°С); 8 — отношение предела текучести к стоимости нержавеющей стали (условные величины); 9 — удельная прочность нержавеющей стали (км) в зависимости от температуры (°С).

Задача 3.4. Определить степенную функцию эксплуатационных свойств по опытным данным, приведенным в табл. 4. Полученные результаты по рассеянию вокруг линии регрессии сравнить с результатами предыдущих задач применительно к вариантам подразд. 3.2.2 и 3.2.3.

3.2.4. Степенная зависимость

Задача аппроксимации по степенной зависимости вида Y=aX^b путем логарифмирования сводится к предыдущей задаче логарифмической аппроксимации. При ее решении надо использовать те же исходные данные.

Оформление отчета

Результаты работы по всем задачам аппроксимации (разд. 3.1—3.4) оформляются в виде краткого отчета с указанием названия и цеди работы; в нем должны быть также приведены:

• исходные данные;

• полученные числовые характеристики;

• полученные зависимости в аналитическом и графическом виде;

• результаты сопоставлений полученных зависимостей по рассеянию вокруг линии регрессии расчетных и опытных данных.

Отчет должен заканчиваться сравнением полученных зависимостей, аргументированным выводом по оптимальному варианту применительно к задачам нелинейной аппроксимации.

4. Определение значимости и влияния технологических факторов

На свойства материалов могут оказывать воздействие различные технологические факторы; в некоторых случаях воздействие приобретает статистически закономерный характер. В практическом плане важно как установление самого факта влияния, так и количественная характеристика такого влияния. Например, надо оценить идентичность (равнозначность) по качеству разных партий продукции или же количественно идентифицировать зависимость факторов друг от друга.

Такие задачи решаются методами дисперсионного, корреляционного и регрессного анализа. Поскольку рассмотренные ранее способы получения функций эксплуатационных свойств основаны на регрессионном анализе и иллюстрируют применение его методов в материаловедении, ниже имеется в виду остановиться лишь на методах дисперсионного и корреляционного анализа.

4.1. Оценка принадлежности результатов различных испытаний (партий) к одной генеральной совокупности

Необходимость определения принадлежности наблюдаемых результатов к одной генеральной совокупности возникает при оценке идентичности разных партий продукции, производимой, например, в разное время или в разных местах, при сравнительной оценке точности измерений, правильности работы приборов, инструментов и пр.

Объективная оценка при этом производится по статистическим критериям. Так, для оценки равнозначности двух нормально распределенных совокупностей по извлеченным из них независимым выборкам надо сравнить их дисперсии при выбранном уровне значимости; другими словами, надо определить, значимо они различаются или незначимо.

Расчетные зависимости

Для проверки принадлежности дисперсий к одной генеральной совокупности используется отношение большей выборочной дисперсии к меньшей (критерий Фишера):

Эта случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы:

где n₁; n₂ — объемы выборок.

С помощью вспомогательного приложения П 3.5 [1] определяется критическое значение уровень значимости обычно берется 0,1 или 0,05.

Если соблюдается неравенство

то предложение о принадлежности обеих дисперсий к одной генеральной совокупности не противоречит опытным данным.

В случае подтверждения можно рассчитать обобщенную дисперсию

Пример 4.1. Определить равнозначность продукции двух партий при уровне значимости α = 0,1 по результатам испытаний 30 и 20 образцов с оценкой качества по пределу прочности.

В результате первичной статистической обработки получены оценки средних значений и дисперсий:

401 Мпа (n₁ = 30); 490 Мпа (n₂ = 30);