Материал: Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине Математическое моделирование в машиностроении. Перова А.В

2.5. Определение объема испытаний (наблюдений)

Объем испытаний (наблюдений) определяется исходя из не­обходимости получения оценки требуемого параметра с опреде­ленной (заданной) точностью и достоверностью. С учетом ска­занного требуемое число образцов в предложении нормального распределения с известным рассеянием данного показателя свойств рассчитывается по зависимости

где V_x — коэффициент вариации; Δх_от — допустимая (относи­тельная) ошибка при оценке среднего значения в долях среднегоквадратического отклонения;

— параметр надежности - вероятность непревышения фактической ошибкой допустимой ошибки.

Прежде всего, надо определиться с допустимой ошибкой. Обычно при низкой точности ее принимают равной коэффици­енту вариации, при средней точности — 0,4—0,5 и при высокой — 0,2—0,3 от коэффициента вариации. Значение последнего надо принять с учетом каких-либо имеющихся данных (позже оно мо­жет быть уточнено).

Далее надо задаться уровнем значимости (обычно α = 0,1—0,05); по нему определяют вероятность и по ее значению устанавливают параметр U с помощью приложения П 3.1 [1].

Рассчитанное по указанной схеме количество образцов при необходимости может быть уточнено с использованием нового значения коэффициента вариации, уточненного по результатам испытаний.

Задача 2.5. Определить минимально необходимый объем ис­пытаний, обеспечивающий относительную ошибку среднего зна­чения, не превышающую 0,03 при уровне значимости а = 0,1; оп­ределить также получаемую ошибку, если испытания проводить на пяти образцах.

Необходимое для расчета значение коэффициента вариации принимается на основании решения предыдущих задач примени­тельно к распределению, приведенному в табл. 1.

Рассчитанный объем испытаний надо уточнить в предложе­нии, что коэффициент вариации в ходе опытной отработки был скорректирован и превысил принятое ранее значение на 0,02.

Оформление отчета

По задачам 2.1—2.5 составляется краткий отчет, в котором каждая из задач формулируется в конкретной постановке, приводится решение и дается заключение с ответами на поставленные вопросы.

2. Определение функций эксплуатационных свойств материалов по наблюдаемым данным

Свойства материалов в условиях эксплуатации изделий могут изменяться, сохраняя, однако, статистический характер. В связи с этим возникает необходимость при решении задач по выбору материалов пользоваться функциями случайных величин. В общем виде такую функцию можно записать:

где X — случайная величина.

На практике такие функции часто получаются аппроксимацией соответствующих опытных данных (результатов, испытаний).

3.1. Сглаживание опытных данных методом

наименьших квадратов

При нормальном распределении исходных данных и заданном типе функций в виде _Y=φ(X) метод наименьших квадратов позволяет так выбирать ее числовые параметры, что сумма квадратов отклонений опытных точек от принятой зависимости будет минимальной.

В случае линейной зависимости y=ax+b коэффициенты уравнения будут:

где — средние значения; D_x — дисперсия; K_xy —корреляционный момент.

где n — число пар наблюдений.

Рассеяние вокруг линии регрессии (дисперсия воспроизводимости) определяется зависимостью:

где — дисперсия величины, принимаемой за функцию; r_xy — коэффициент корреляции. Последний вычисляется через корреляционный момент по зависимости:

где — среднее квадратическое отклонение аргумента.

Проведению расчетов должна предшествовать проверка соответствия опытных данных нормальному распределению. В случае же несоответствия надо путем преобразования исходных величин привести их к нормальному распределению. С этой целью чаще всего используются обратные величины, логарифмические и степенные функции.

Применительно к преобразованным величинам расчеты проводятся так же, как и для непреобразованных величин. Вместе с тем надо иметь в виду, что полученная при этом дисперсия будет характеризовать рассеяние вокруг линии регрессии применительно к варианту с преобразованием. Для непреобразованных исходных величин дисперсию следует определять сопоставлением значений, полученных при решении уравнения, и соответствующих опытных данных с использованием зависимости (остаточная дисперсия)

где — опытные значения.

При выборе вида зависимости (линейная, нелинейная) прежде всего надо исходить из физической сущности описываемых явлений. Если она неизвестна, то надо выбрать какую-либо из известных математических зависимостей, ориентируясь на расположение опытных данных в координатных осях (на графике).

В случае нелинейной зависимости, опять-таки путем подстановки (подбора) новых величин, надо попытаться преобразовать ее к линейной. Чаще всего с этой целью одна или обе из исходных величин представляется в виде логарифмов; иногда используется степенная зависимость. Такое преобразование позволяет сохранить схему расчетов в прежнем виде.

В целях облегчения таких расчетов по аппроксимации и проведения их с помощью ЭВМ рекомендуются для использования электронные таблицы Excel (регрессия, динамика процесса).

3.2. Аппроксимация опытных данных

3.2.1. Линейная зависимость

В этом случае наблюдаемые данные аппроксимируются уравнением вида: y=ax+b.

Сначала должно быть проверено соответствие их нормальному распределению, как это указано в разд. 2.

Задача 3.1. Определить линейную функцию эксплуатационных свойств по опытным данным, приведенным в табл. 3.

3.2.2. Полулогарифмическая зависимость

При нелинейном характере зависимости целесообразно сначала опробовать полулогарифмическую аппроксимацию в виде: y=a lg x +b.

В ходе расчетов опытные данные в виде пары y_i и х_i преобразуется к новой паре y_i, z_i=lg x_i и далее задача решается аналогично предыдущей, поскольку искомая зависимость имеет вид:

Если же исходные данные преобразуются в пару z_i=lg y_i x_i , то зависимость будет

Заметим, что в качестве исходных данных при этом используются данные без преобразований.

Задача 3.2. Определить полулогарифмическую функцию эксплуатационных свойств по опытным данным, приведены в табл. 4; оценить рассеяние вокруг линии регрессии (дисперсию) непреобразованной величины, сравнив полученные по ходу расчета данные с соответствующими опытными данными.

Таблица 3

Исходные данные для аппроксимации линейной

Продолжение табл. 3