Материал: Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении». Перова А.В
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра технологии машиностроения
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению самостоятельной работы по дисциплине
“Математическое моделирование в машиностроении” для студентов направления
15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительныхпроизводств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечноштамповочного производства»)
всех форм обучения
Воронеж 2016
1
Составитель канд. техн. наук А.В. Перова
УДК 519.242
Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении» для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечно-штамповочного производства») всех форм обучения / ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А.В. Перова. Воронеж, 2016. 25 с.
Методические указания включают краткие теоретические сведения по основам планирования эксперимента, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами методов экспериментальных исследований в машиностроении.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержатся в файле «Самостоятельная работа_МММ.pdf».
Табл. 14. Ил. 4. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. А.И. Болдырев
Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. техн. наук И.Т. Коптев
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
©ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический
университет", 2016
2
1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
ГИСТОГРАММА. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
Целью работы является обучение наиболее эффективному овладению практикой вычислений и навыкам использования основных формул и алгоритмов математической статистики.
1.При конкретных практических исследованиях в распоряжении имеется ограниченное число реализации случайной величины X, образующих выборочную совокупность (выборку). По выборке можно вычислить оценки соответствующих статистических характеристик генеральной совокупности.
2.Выборка представляется простым статистическим рядом. Обычно такой ряд оформляют в виде таблицы с одним входом, в первой строке которой стоит номер опыта, а во второй - реализации случайной величины.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|||||||
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
|
... |
|
n |
|
||
|
|
|
|
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
... |
|
xn |
|
|||
3. Состоятельные несмещенные оценки математическо- |
||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
~2 |
) имеют следующий вид: |
|||||||
го ожидания (mx ) и дисперсии ( x |
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
~2 |
|
|
|
mx ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(1.2) |
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти формул могут быть использованы для непосредственного расчета по данным простого статистического ряда; расчет становится громоздким при большом объеме выборки (n - большое). В этом случае выборку удобнее оформлять в виде статистического (вариационного) ряда.
1
4. Выборка преобразуется в форму статистического (вариационного) ряда по следующему правилу:
4.1. Весь диапазон, изменения [xmin; xmax ] случайной величины делится на k интервалов, где k, приближенно можно выбрать по полуэмпирической формуле:
k = 1 + 3,2 lg n (1.3)
с округлением до ближайшего целого. Длины всех интервалов выбираются равными
= |
xmin xmax |
. |
(1.4) |
|
|||
|
k |
|
|
4.2. Подсчитывается mi (1 i k) – число реализаций случайной величины, попавших в I-й интервал. Если значение xi попадает на границу внутри диапазона изменения Х между i - м и i + 1 - м интервалами, то рекомендуется к mi и mi+1 прибавить по 1/2. Определяется относительная частота, соответствующая каждому интервалу
P* = |
mi |
. |
(1.5) |
|
|||
i |
n |
|
|
4.3. Статистический (вариационный) ряд оформляется в виде таблицы
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|
X |
x1; x2 |
x2; x3 |
… |
xi; xi+1 |
… |
xk; xk+1 |
mi |
M1 |
m2 |
… |
mi |
… |
mk |
P* |
P* |
P* |
… |
P* |
… |
P* |
i |
1 |
2 |
|
i |
|
k |
4.4. Статистический (вариационный) ряд может оформляться графически в виде гистограмм. Гистограмма изображается в виде прямоугольников, площадью, равной относительной частоте P* соответствующих интервалов, основанием ко-
торых служат длины интервалов , отложенные по оси абсцисс (рис. 1).
2
P*
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xk+1 |
X |
Рис.1.1
З а м е ч а н и е. Количество интервалов, их длины, а также масштаб могут изменяться в зависимости от решаемых задач.
5. По построенному статистическому (вариационному) ряду несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются так
~ |
|
|
k |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
||||
|
= xi |
, |
|
|
|
(1.6) |
||||||||||
mx |
|
pi |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~2 |
|
|
n |
|
k |
|
~ |
|
2 |
* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
= |
|
|
|
|
|
(xi mx |
) |
|
pi , |
(1.7) |
|||||
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
x |
i |
= |
xi 1 |
xi |
|
- координата середины i -го интерва- |
|||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
ла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Интервал I = (а~- 1; |
|
а~+ 2) называется доверитель- |
||||||||||||||
ным интервалом с доверительной вероятностью , если выполняется соотношение
P(а~- 1 < a <а~+ 2 ) = , |
(1.8) |
где (a - точное значение некоторого |
параметра; а~ - |
оценка параметра , 1 и 2 - искомые числа. |
|
3 |
|