Материал: Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении». Перова А.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Результаты реализаций оформляются в виде таблицы. xi x1 x2 … xm

yi y1 y2 … ym

4. Наибольшее распространение для решения этой задачи получил метод наименьших квадратов (МНК).

Согласно МНК наилучшей функцией приближения (уравнением регрессии) будет такая, для которой сумма квадратов отклонений

 

n

(a0 a1xi ... amxim ) yi 2

 

S(a0 ,a1,...,an )

 

i 1

 

(3.3)

будет минимальной.

 

 

 

Выбор функции “близости“ в виде (3.3) обеспечивает

несмещенные и

состоятельные

оценки

параметрам

a0 ,a1,...,an когда

случайные величины X и Y

подчинены

нормальному закону распределения .

5. использование нескольких условий существования экстремума функции нескольких переменных, определяет так называемую систему уравнений для отыскивания параметров

S/

0,

S/

0, ...,

S/

0.

(3.4)

a0

a0

am

 

 

 

 

или в развернутом виде

 

n

n

 

n

n

 

a0 a1 xi a2 xi2

... am xim yi

 

i 1

i 1

 

i 1

i 1

 

n

n

a2

n

n

 

n

a0 xi

a1 xi2

xi3

... am xim

xiyi

i 1

i 1

 

i 1

i 1

 

i 1

(3.5)

.......................................................................................

n

 

n

 

n

 

n

 

n

 

 

m

m 1

m 2

m m

m

 

a0 xi

a1 xi

a2 xi

... am xi

xi yi

i 1

 

i 1

 

i 1

 

i 1

 

i 1

 

 

Решение одним из методов (например по правилу

Крамера)

системы

(3.5)

относительно

параметров

ai (0 i m) дает искомые

оценки, и,

следовательно,

определяет аналитический вид функции (3.2).

 

 

 

 

14

 

6. Если уравнение регрессии линейно т.е.

Y a0 ax X

то его адекватность проверяется при помощи коэффициента корреляции, оценка которого

 

 

~

 

 

 

 

 

~rxy

kxy

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

~

 

n

~

)(yi

~

)

где

 

(xi mx

my

kxy

 

i 1

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.6)

- оценка корреляционного

момента

x, y – оценки среднеквадратичных отклонений случайных величин X, Y соответственно.

Чем ближе коэффициент корреляции приближается к +1 или –1, тем сильнее линейная связь и, следовательно, точнее регрессионное уравнение описывает заданную статистику.

7. Если уравнение регрессии нелинейно, то его адекватность проверяется корреляционным отношением, оценка которого

~

y

x

n

( yi Yi )2

 

1

i 1

 

 

 

(3.7)

n

~

)

2

 

 

(yi my

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

Yi – значение величины Y, полученное по уравнению регрессии в точке xi

Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь, точнее регрессионное уравнение описывает заданную статистику.

8. Значимость коэффициента корреляции проверяется по t - критерию Стьюдента

~

 

 

 

 

 

 

n 2

 

 

 

r

 

 

 

tp

xy

 

 

 

(3.8)

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

1 rxy

 

 

с = n - 2 степенями свободы. Если вычисленная по формуле (3.8) величина по модулю меньше, чем в

15

статистической табл. tкр( , q), то полагают, что теоретический коэффициент корреляции равен нулю, т.е. ~rxy не значим, в

противном случае ~rxy значим, и его надо учитывать.

9. Значимость корреляционного отношения проверяется по критерию Фишера

 

n (m 1)

~2

 

 

 

 

F

 

yx

 

 

 

(3.9)

m

1 2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

yx

 

 

 

(m –1 – число параметров в уравнении регрессии) с

числами степеней свободы 1 =

m и 2 = n – (m+1). Если

вычисленная

по формуле (3.9)

величина Fp

больше

чем

выбранная из

статистической таблицы Fкр( 1,

2, q), то

~

yx

значим и его надо учитывать.

10.1Выбрать вид регрессионного уравнения

10.2Исследуя таблицу исходных данных, составить систему нормальных уравнений вида (3.5)

10.3Решить систему нормальных уравнений относительно параметров a0 ,a1,...,am

Записать аналитический вид регрессионного уравнения. Вычислить оценки коэффициента корреляции или

корреляционного отношения.

Проверить значимость полученных оценок.

Построить на графике теоретическую кривую и отложить значения таблицы (для наглядности).

Сделать выводы и оформить работу.

11. Пример. Вычислить параболическую регрессию Y на X для данных, сведенных в таблицу.

Xi

1

2

3

4

5

6

7

Yi

1.33

2.57

4.17

5.0

5.33

6.50

6.0

C доверительной вероятностью = 0.95 проверить ее адекватность.

11.1. По условию задачи уравнение регрессии надо выбирать в виде

y a

0

a X a

2

X 2

(3.10)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

16

II.2. Составим систему нормальных уравнений вида

(3.5) при m = 2; n = 7.

 

 

 

 

7

 

 

7 2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

7a0 a1 xi a2 xi

 

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

7

2

7

 

3

n

 

 

 

(3.11)

 

 

a0 xi

a1 xi

a2 xi

xiyi

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

7

2

7

3

7

 

4

n

2

 

 

 

 

 

 

 

a0 xi

a1 xi

a2 xi

xi yi

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления коэффициентов при a0,

a1, a2 составим

вспомогательную таблицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

xi

 

yi

 

 

X2i

 

X3i

 

X4i

XiYi

 

X2iYi

 

 

1

1

 

1.33

 

 

1

 

1

 

 

1

 

1.33

 

1.33

 

 

2

2

 

2.57

 

 

4

 

8

 

 

16

5.14

 

10.28

 

 

3

3

 

4.17

 

 

9

 

27

 

81

12.51

 

37.53

 

 

4

4

 

5.0

 

 

16

 

64

 

256

20.0

 

80

 

 

5

5

 

5.33

 

 

25

 

125

 

625

26.65

 

133.25

 

 

6

6

 

5.50

 

 

36

 

216

 

1296

33

 

198.00

 

 

7

7

 

6.0

 

 

49

 

343

 

24.01

42

 

294

 

 

 

28

 

29.90

 

 

140

 

784

 

4676

140.63

 

764.39

 

 

Тогда систему нормальных уравнений можно записать

так

 

 

 

 

 

 

 

 

29.9

 

 

 

 

 

 

 

7a0 28a1 140a2

 

 

 

 

 

 

 

 

28a0 140a1 784a2

140.63

 

 

(3.12)

 

 

 

 

 

 

140a0 784a1

4676a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

764.39

 

 

 

 

для решения этой системы сначала разделим числовые коэффициенты каждого уравнения на коэффициенты при a0 ,получим

a0 4a1 20a a0 5a1 28a

2

2

4.

5.

 

a0

4.6a1

33.4a2

5.4

(3.13)

решаем систему по правилу Крамера

 

 

 

 

1

4

20

 

= 0,б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

28

 

 

 

 

 

1

3,5

33,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

4,27

4

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

5,07

5

28

 

 

0,64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,46

4,6 33,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4,27

20

 

=

0,53

 

 

 

 

 

 

1

4

4,7

 

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

1 5,02

26

 

 

a2

 

 

1

5

5,2

 

 

 

 

 

 

1 5,46

33,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5,6 5,46

 

 

0,017

 

 

 

0.54

 

 

 

 

 

 

0.53

 

 

 

 

 

 

 

0.01

 

 

 

a

 

 

1.07 ;a

 

0.88;

a

 

 

0.017

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0.5

 

1

0.5

 

 

2

 

0.5

 

 

 

11.3.Уравнением регрессии будет

Y = 1.07 + 00.88X - 0.017X2

11.4.Так как уравнение регрессии нелинейно, то будем вычислять корреляционное отношение по формуле (3.7)

7

 

 

 

~

 

 

y

i

 

 

29.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем m

 

 

 

 

 

 

 

 

4.27

 

 

 

7

 

 

7

 

 

 

 

Для удобства опять воспользуемся таблицей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

Yi

 

y

 

 

 

 

yi-Yi

~

(yi-Yi)

(y ~

2

 

 

 

 

 

 

 

 

yi-m

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i- my

 

1

 

1.33

 

1.93

 

 

-0.6

-2.94

0.36

8.64

 

 

2

 

2.57

 

2.76

 

 

-0.19

-1.7

0.036

2.89

 

 

3

 

4.17

 

3.56

 

 

0.61

-0.1

0.372

0.01

 

 

4

 

5.

 

 

4.32

 

 

0.68

0.73

0.462

0.583

 

 

5

 

5.33

 

5.05

 

 

0.28

1.06

0.078

1.124

 

 

6

 

5.5

 

5.74

 

 

-0.24

1.23

0.058

1.513

 

 

7

 

6.0

 

6.39

 

 

-0.39

1.73

0.152

2.99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.518

17.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

1.518

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0.08576 0.95

 

 

y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

17.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина корреляционного отношения близка к 3.1. 11.5. Проверим значимость полученного

18

Источник: https://studfile.net/preview/16568387/

Смотрите также:

11 Образец ссылки на эту статью
Анализ деятельности Федерального центра высокотехнологичной медицинской помощи
Бизнес-планирование на предприятии
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (случайные события) (110
Мобилизационная модель развития в СССР (1945–1991 годы): кризис и попытки его преодоления
Особенности эмоциональных состояний больных с проблемами органов зрения
Роль народного ополчения при обороне рязанского боевого участка в великой битве под Москвой (30 сентября 1941 — 20 апреля 1942 г.)
Сланцевая революция и российско-китайское энергетическое сотрудничество
Совершенствование перестраховочной деятельности в Украине
Содерж