Материал: Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении». Перова А.В
Величина q называется уровнем значимости критерия проверки
q = 100(1- )% |
(1.9) |
7. Доверительный интервал для |
mx при неизвестной |
дисперсии ~x2 :
7.1. Построение доверительного интервала основано на
том, что величина
~
T = 
n (mx ~ mx ) (1.10)
x
распределена по закону Стьюдента с = n - 1 степенями свободы.
7.2. По статистической таблице распределения Стьюдента для = n - 1 и уровня значимости q, можно найти такое tкр, что интервал
~ |
|
~x |
~ |
|
~x |
|
|
|
|||
I = (mx |
- tкр |
|
|
|
; mx |
+ tкр |
|
|
|
) |
(1.11) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
будет доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности .
8. Доверительный интервал 2x ;
8.1. Построение доверительного интервала основано на
~2 |
|
|
||
том, что величина |
(n 1) x |
распределена по закону |
2 (хи - |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
квадрат) с = n – 1 степенями свободы.
8.2. По статистической таблице для = n – 1 и вычисленным по данному значению q вероятностям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P1 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2100 |
|
|
|
(1.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
можно |
найти |
|
|
такие |
числа |
12 , |
22 , что интервал |
I = |
||||||||||||
(n 1) |
~2 |
|
|
|
~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
, |
(n 1) |
x |
будет |
доверительным интервалом для |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~2 |
, соответствующим доверительной вероятности . |
|
||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9. Порядок выполнения работы:
9.1. Преобразовать простой статистический ряд в форму статистического (вариационного) ряда:
-вычислить k и ;
-определить mi и вычислить Pi* ;
-оформить ряд в виде таблицы;
-построить гистограмму.
~ |
и |
~2 |
9.2. Вычислить mx |
x . |
9.3. Построить доверительный интервал для mx: - найти и по заданному вычислить q;
- по статистической таблице найти tкр; - построить I .
9.4. Построить доверительный интервал для |
~2 |
; |
|
x |
|||
- по значению q вычислить Р1 и Р2; |
|
|
|
- по статистической таблице найти 12 , |
22 ; |
|
|
- построить I . |
|
|
|
9.5. Сделать выводы, оформить работу.
10. Пример. Произведено 10 независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной, характеризующей отклонение в мм длины детали от требуемой по техническим условиям. Результаты опытов представлены в виде простого статистического ряда.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
2,5 |
-0,2 |
-2,3 |
-1.25 |
-1.1 |
0.4 |
1.2 |
-2,5 |
0,5 |
-0.7 |
Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалу дяя = 0.95.
10.1. Преобразуем выборку в форму статистического (вариационного ряда).
Здесь:
k = 1 +3.2* lg10 = 1 +3.2 = 4;
= |
xmax xmin |
= |
2.5 2.5 |
= 1.25 |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
||
Найдем mi. Для этого сформируем интервалы разбиения (mi - число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 1.3.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
X |
-2.5; |
-1.25 |
-1.25; |
0 |
0; |
1.25 |
1.25; |
2.5 |
|
mi |
2.5 |
|
3.5 |
|
3 |
|
1 |
|
|
Вычислим Pi* и оформим таблицу 1.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
X |
-2.5; |
-1.25 |
-1.25; |
0 |
0; |
1.25 |
1.25; |
2.5 |
|
|||||||||
mi |
2.5 |
|
|
3.5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Pi* |
0.25 |
|
|
0.35 |
|
|
|
|
0.3 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|||
Построим гистограмму |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P* |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.32 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.08 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 -1.25 |
0 |
|
|
|
1.25 |
2.5 |
|
|||||||||
|
|
~ |
|
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.2. Вычислим mx и |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
~ |
= - 1. 875 * 0.25 + (- 0,625)*0.35 + 0.625*0.3 + |
||||||
mx |
|||||||
1.875*0.1 = - 0.469 – 0.219 + 0.188 + 0.188 |
|
||||||
|
- 0,312. |
|
|
|
|
||
~2 |
10 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
x |
= |
|
[(-1/563) |
|
*0.25 + (-0.313) |
|
*0.35 + (0.313) *0.3 |
10 1 |
|
|
|||||
+(1.563)2*0.1 ]
10 [0.611 + 0.034 + 0.029 + 0.244] = 1.02
9
Тогда
~ |
|
1.02 1.009 |
x |
10.З. Построим доверительный интервал для ~ mx
= n – 1 = 10 – 1 = 9; = 0.95;
6
q = 100*(1 – 0.95) % = 5 %
Используем статистическую таблицу, найдем:
|
~ |
|
|
1. |
009 |
|
|
|
||
tкр 2.26, тогда |
tкр |
|
x |
|
= 2.26 |
|
|
0.72 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
10 |
~ |
|
||||
тогда доверительный интервал для |
|
|||||||||
mx будет |
||||||||||
I = (–0.312 – 0.72; –0.312 + 0.72 ) = (-1.032; 0.408)
10.4.Построим доверительный интервал для ~2
x
Вычислим Р1 |
и Р2 |
|||||
Р1 |
= 1 - |
1 |
|
5 |
|
= 0.975, |
|
|
|||||
|
2100 |
|
|
|||
Р2 |
= 0.025 |
|
|
|||
По статистической таблице, зная Р1, Р2 и = 9, найдем
12 2.7; |
22 |
19.02 |
|
|
|
~2 |
9 1.02 9.18 |
Вычислим (n - 1) x |
|||
Тогда |
|
|
|
I 2 (0.48; |
3.4) |
|
|
x |
|
~2 |
|
~ |
|
||
Ответ: mx |
-0.312; x 1.02; |
||
I = (-1.032; |
0.408); |
I 2 (0.48; 3.4). |
|
|
|
|
x |
11. Практические задания
Произведено n независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной Х, характеризующей процент выхода бракованных изделий с технологической операции.
Результаты опыта сведены в таблицы (по вариантам получить у преподавателя).
Требуется: построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с известным .
2.ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ
1.На практике часто приходится решать вопрос, как
7
при ограниченном объеме выборки подобрать для данного статистического (вариационного) ряда теоретическую кривую функции плотности распределения, в некотором смысле наилучшим образом описывающую статистику и выражающую лишь существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.
2.Вид теоретической кривой определяется заранее из соображений, связанных с существом задачи, а также может быть оценен по построенной гистограмме.
3.При выборе аналитической функции кривой распределения следует иметь в виду, что она должна обладать свойствами плотности распределения.
4.Для решения этой задачи используется метод моментов, согласно которому параметры теоретической функции плотности распределения f(x) выбираются таким образом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если f(x) зависит
от двух параметров, то эти параметры выбираются так, чтобы
~ |
; |
~ |
(2.1) |
mx = mx |
Dx = Dx |
Замечание 1. При выравнивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами выше четвертого порядка, так как точность вычислений резко падает.
5. Для проверки согласованности теоретического и статистического распределений статистический ряд оформляется в виде таблицы.
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
X |
x1; x2 |
x2; x3 |
… |
xi; xi+1 |
… |
xk; xk+1 |
mi |
M1 |
m2 |
… |
mi |
… |
mk |
P* |
P* |
P* |
… |
P* |
… |
P* |
i |
1 |
2 |
|
i |
|
k |
Pi |
P1 |
P2 |
… |
Pi |
… |
Pk |
Pi - теоретические вероятности попадания случайной величи-
8