Материал: Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении». Перова А.В
ны в i й интервал [xi; xi+1], то есть
xi 1 |
(2.2) |
Pi = f(x)dx |
xi
Для наглядности теоретическое распределение можно оформить в виде графика, совмещая кривую плотности вероятностей и гистограмму. Для этого надо вычислить значения теоретической кривой в граничных точках интервалов разбиения.
6. В качестве критерия проверки вопроса о согласованности теоретического и статистического распределений обычно используется критерий 2 Пирсона ( хи - квадрат).
2 |
k |
(P* P )2 |
|
|
||||
|
|
|
|
i i |
|
|
||
|
= n |
|
|
|
|
или |
(2.3) |
|
|
|
Pi |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
2 |
k (m |
i |
nP )2 |
|
|
|||
|
= |
|
|
i |
|
|
(2.4) |
|
|
|
|
nPi |
|
||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
Критерий 2 имеет = k – l –1 степеней свободы, где l - количество оцениваемых параметров в законе распределения. При нормальном законе распределения оценивается дисперсия
иматематическое ожидание, то есть l = 2.
7.По таблице 2 приложения находится граница 2кр кри-
тической области для заданного уровня значимости критерия q и числа степеней свободы . Если
2 кр2 |
(2.5) |
то можно признать расхождения между теоретическим и статистическим распределениями несущественными, то есть выборочный материал не противоречит гипотезе о том, что случайная величина Х имеет плотность распределения f(x). В противном случае эта гипотеза не подтверждается.
8. Порядок выполнения работы:
8.1.Оформить статистический (вариационный) ряд в виде таблицы. Построить гистограмму. Выбрать вид теоретической кривой f(x).
8.2.Использовав метод моментов, подобрать параметры теоретического распределения. Записать теоретическую
9
кривую в виде функции плотности вероятности.
8.3.Изобразить кривую плотности вероятности в виде графика, вычислить Pi . Оформить выборку в виде таблицы.
8.4.Вычислить значения 2. Определить число степеней свободы и уровень доверительной вероятности q.
8.5.По таблице 2 приложения по значениям q и опре-
делить 2кр .
8.6.Проверить неравенство (5).
8.7.Сделать выводы. Оформить работу.
9. Пример. С целью исследования закона распределения отклонения от номинального размера диаметра роликов из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики, взята выборка объемом п= 20.
Выборка оформлена в виде простого статистического
ряда.
Необходимо подобрать теоретическую функцию распределения, выровнять ряд с доверительной вероятностью = 0,9.
9.1. Оформим ряд в виде статистического (вариационного) ряда. Для этих целей выберем к = 6.
= |
xmax xmin |
= |
1,8 1,8 |
= 0,6 |
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
Оформим результаты в виде таблицы |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
-1,8; - |
-1,2; - |
|
-0,6; |
0; |
0,6; |
1,2; |
|
1,2 |
0,6 |
|
0 |
0,6 |
1,2 |
1,8 |
mi |
2 |
3 |
|
1,5 |
7,5 |
4 |
2 |
P* |
0,1 |
0,16 |
|
0,075 |
0,375 |
0,2 |
0,1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим гистограмму (рис. 1.2) |
|
|
||||
10
P*
-1,8 |
-1,2 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
1,2 |
1,8 |
X |
Рис.1.2
Учитывая вид гистограммы, выберем в качестве теоретического закона нормальный закон распределения, тогда функция плотности вероятности запишется в виде
f(x) = |
1 |
( x mx )2 |
(6) |
e 2 z2 |
x 
2
9.2.Используем метод моментов, для этих целей вы-
числим
~ |
= |
|
k |
~ |
|
* |
|
= |
-1,5 0,1 |
|
- |
|
0,9 0,15 – |
0,3 0,075 + |
|||||||||
mx |
|
xi |
Pi |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 0,375 + 0,9 0,2 + 1,5 0,1 0,055. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ |
= |
|
n |
|
k |
~ |
~ |
|
2 |
* |
= |
20 |
(1,555 0,1 + |
0,955 0,15 + |
|||||||||
Dx |
|
|
|
|
(xi |
mx |
) |
|
Pi |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
19 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
n 1i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0,355 0,075 + 0,245 0,375 + 0,842 0,2 + 1,445 0,1) 0,79 |
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Dx 0,89. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приравнивая |
~ |
= mx и |
~ |
|
= |
x получим теоретиче- |
|||||||||||||||||
mx |
x |
||||||||||||||||||||||
скую кривую в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f(x) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
( x 0,055 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e |
|
2 0,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Построим график этой кривой для этого вычислим значения f(x) в граничных точках разбиения на интервалы.
11
Результаты вычислений сведем в таблицу.
X |
-1,8 |
-1,2 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
1,2 |
1,8 |
f(x) |
0,052 |
0,166 |
0,34 |
0,447 |
0,372 |
0,195 |
0,066 |
Для упрощения вычислений можно использовать статистическую таблицу.
Изобразим график на рис. 2. Получим плавную кривую плотности вероятности нормального распределения.
Вычислим вероятности Pi попадания случайной величину в i - й интервал. Для нормального закона
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|||||||
|
Pi = |
|
f(x)dx |
xi 1 mx |
|
|
xi |
|
|
(2.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xi |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Функцию (Лапласа) находим по статистической таб- |
|||||||||||||||||||||
лице. Результаты сведем в таблицу вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X |
-1,8; |
|
-1,2; |
|
-0,6; |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
0,6; |
|
1,2; |
||||||
|
-1,2 |
|
-0,6 |
|
0 |
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
1,8 |
||||
mi |
2 |
|
3 |
|
|
1,5 |
|
|
|
7,5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|||
P* |
0,1 |
|
0,15 |
|
0,075 |
|
|
0,375 |
|
|
|
0,2 |
|
|
0,1 |
|||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
0,061 |
|
0,15 |
|
0,2464 |
|
0,2464 |
|
|
0,15 |
|
0,061 |
||||||||||
|
9.4. По |
формуле (3) вычислим значение 2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
2 = 20 |
0,039 |
0 |
0,1715 |
|
0,1286 |
|
0,05 |
|
0,039 |
|
= 5,06. |
||||||||||
|
|
|
|
|
0,061 |
|||||||||||||||||
|
|
0,061 |
0,2464 |
|
0,2464 0,15 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как оценивались два параметра mx и Dx, то l = 2,
тогда = 6 – 2 – 1 = 3.
9.5. Вычислим уровень значимости по заданной доверительной вероятности
q = 100(1 - ) = 10%
9.6.По таблице 2 найдем 2кр .
9.7.Проверим неравенство (6); 2кр = 6,25,
2 = 5,06 < 6,25 = 2кр
Неравенство выполняется.
12
9.8. Можно считать, что случайная величина Х , определяемая первоначальной выборкой, не противоречит гипотезе о нормальности ее распределения с плотностью вероятности
f(x) = |
1 |
|
|
( x 0,055 )2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
e 2 0,79 |
|||
0,89 |
|
|
|||
|
2 |
||||
10. Практические задания
Использовав выборки наблюдений заданий работы № 1, выровнять статистические ряды с помощью нормального распределения. При построении гистограмм проверить разбивку интервала изменения случайной величины Х на 6 частей.
3. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
1. При обработке опытных данных часто приходится решать задачу, целью которой является исследование зависимости одной физической величины Y от другой физической величины X. Предполагается, что эти величины связанны некоторой зависимостью
Y f(X,a1,a2 ,...,am ) |
(3.1) |
где a1,a2 ,...,am - искомые параметры.
2. На практике функция (3.1) (уравнение регрессии) выбирается в виде полинома
n |
|
(3.2) |
Y aiXi , |
(m 1, 2,...) |
i 0
Иногда употребляются и другие элементарные функции: дробно-линейная, степенная, логарифмическая и т.д.
3. Геометрическая задача подбора аналитической функции состоит в проведении такой кривой вида (3.2) (линии регрессии), которая возможно “ближе” примыкает к системе точек (xi yi), (i = 1, 2, …, n), образовавшихся в результате n реализаций случайных величин X, Y
13