Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И
Его характеристическое
уравнение
может иметь:
1) два различных
действительных корня
;
2) действительный кратный корень кратности двух
;
3) два комплексно
сопряженных корня
В зависимости от
вида корней, в первом случае частными
решениями однородного уравнения будут
функции
и
,
а общее решение запишется в виде
Во втором случае
(действительный корень кратности двух)
частными линейно независимыми решениями
будут функции
,
,
а общее решение запишется как
В случае комплексных
корней
:
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет два различных корня:
,
и общее решение уравнения
запишется как
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
запишем в виде
.
Отсюда следует, что оно имеет один
единственный корень кратности двух:
,
и общее решение уравнения
запишется как
.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение.
Решая характеристическое уравнение
,
находим его корни
,
.
Корни комплексно сопряженные, причем
.
Следовательно, общее решение имеет
вид
Если в уравнении (2.1) с постоянными коэффициентами функция имеет вид
то это уравнение
называется неоднородным со специальной
правой частью. Здесь
и
– многочлены порядка
и
соответственно. Частное решение
неоднородного уравнения ищется точно
в таком же виде
(2.3)
где функции
и
-
многочлены с неопределенными коэффициентами
порядка
.
Кроме того, показатель степени r
в (2.3) – это число корней характеристического
уравнения равных
.
Пример. Определить вид частного решения, если
.
Решение.
Так как
получим, что
и
Показатель степени
r – число корней
характеристического уравнения равных
3 (так как
).
Например, для уравнения из примера 3
,
так как его характеристическое
уравнение не имеет корней, равных 3. Для
уравнения из примера 2 число
,
так как его характеристическое уравнение
имеет корень, равный 3 кратности два (то
есть встречается среди корней
характеристического уравнения дважды).
Пример. Определить вид частного решения неоднородного уравнения, если
Решение.
Так как
,
то частное решение имеет вид
Показатель степени
r – число корней
характеристического уравнения,
соответствующего однородного уравнения,
равных
.
В частности, если
-
правая часть уравнения из примера 3, то
,
так как корни равны
.
Если же
-
правая часть уравнения из примеров
1 и 2, то
.
Другой способ решения неоднородного линейного уравнения - метод вариации произвольных постоянных, применим для любых правых частей и состоит в следующем.
1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
предполагая, что
функции
,
- функции от х.
Для их определения составляем систему уравнений
(2.4)
2. Решаем систему
уравнений (2.4) относительно
,
.
Относительно
и
эта система уравнений является линейной
алгебраической и может быть решена по
формулам Крамера:
;
(2.5)
где
,
и
определители системы.
3. Интегрируем
решение системы уравнений (2.5) по х
и определяем функции
и
:
Окончательно, решение неоднородного уравнения можно записать в виде
.
Пример.
Найти общее решение неоднородного
уравнения
Решение. Решим соответствующее однородное уравнение
Характеристическое
уравнение
имеет корни
Следовательно, общее решение однородного
уравнения запишем в виде
Составим систему уравнений:
(2.6)
Решаем систему
уравнений (2.6) относительно
и
по формулам Крамера:
Интегрированием
находим функции
и
:
;
( 2.7)
При вычислении
интеграла в (2.7) использована подстановка
.
В итоге общее решение уравнения имеет
вид
Рассмотрим некоторые задачи.
Задача 1. Найти общее решение неоднородного уравнения
.
(2.8)
Решение. Рассмотрим однородное уравнение
.
Его характеристическое
уравнение
имеет корни
и общее решение однородного уравнения
запишется в виде
