Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

Так как , частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

. (2.9)

( , поскольку характеристическое уравнение не имеет корней равных ). Для определения коэффициентов решение (2.9) подставим в исходное уравнение(2.8):

Равенство (2.10) можно преобразовать к виду

Так как требуется, чтобы функция была решением уравнения, то равенство (2.10) должно выполняться тождественно. Следовательно, коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях (2.10) должны быть равны:

(2.11)

Решая систему уравнений (2.11), определим коэффициенты : . Следовательно, частное решение неоднородного уравнения и общее решение неоднородного уравнения будут иметь вид:

Задача 2. Найти частное решение неоднородного уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

(2.12)

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни и общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

(2.13)

( , так как характеристическое уравнение имеет корень, равный ). Коэффициенты определим, подставляя решение (2.13) в исходное уравнение

(2.14)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества (2.14), получим систему уравнений для определения : .

Решая ее, найдем : и общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения

Подставляя найденное решение и его производную в начальные условия (2.12), получим систему уравнений для определения коэффициентов :

Решая ее, определим : .

Следовательно, искомое частное решение запишется в виде

.

Примеры для самостоятельного решения.

Пример 1. Найти общее решение неоднородного уравнения

Ответ:

Пример 2. Найти общее решение неоднородного уравнения

Ответ:

Пример 3. Методом вариации произвольной постоянной найти общее решение неоднородного уравнения

Ответ:

Пример 4. Решить задачу Коши:

Ответ:

1. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений

Линейные дифференциальные уравнения являются мощным ап­паратом в решении задач о колебаниях, занимающих значительное место в современной технике и физике. Познакомимся с одной из них  с задачей о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине.

П

Рисунок

Совместим начало координат с положением равновесия груза, а ось Оу направим вертикально вверх. Обозначим через расстоя­ние от конца нерастянутой пружины без груза до положения равно­весия груза, а через у  отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рисунок). На груз действует сила, равная сумме следующих трех сил: 1) силы тяжести груза mg, направленной вниз; 2) силы сопротивления среды, направленной в сто­рону, противоположную движению груза, и по величине пропорциональной скорости движения груза, т. е. равной где  коэффициент пропорциональности; 3) уп­ругой силы пружины, направленной вверх (т. е. в положительном направлении оси Оу), величина которой, по закону Гука, пропорциональна деформации, т. е. равна где с  коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины (масса пружины не учитывается).

Согласно второму закону Ньютона получаем следующее уравне­ние движения груза:

Так как в положении равновесия ( ) вес груза mg уравновеши­вается упругой силой пружины, то . Поэтому или

(2.15)

Получено дифференциальное уравнение, которое называется урав­нением свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Если на груз действует внешняя сила, направленная вертикаль­но (вдоль оси Оу), величина которой F(t) зависит от времени t, то уравнение (2.15) принимает вид

(2.16)

Уравнение (2.16) называется уравнением вынужденных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Разделив все члены уравнения (2.16) на m и обозначая получаем окончательный вид уравнения вынужденных колебаний:

(2.17)

Уравнение (2.17) представляет собой линейное неоднородное диф­ференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэф­фициентами.

Перейдем теперь к исследованию колебаний, применяя извест­ные решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

С в о б о д н ы е к о л е б а н и я. Пусть отсутствуют внешняя сила f(t) и сопротивление среды ( ). Тогда уравнение (2.17) при­нимает вид

Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни , и общее решение уравнения определяется формулой

где и  произвольные постоянные. Для удобства дальнейших рассуждений заменим произвольные постоянные и постоянны­ми A>0 и , полагая (отсюда и ). Тогда

,