Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

для будет

Поэтому составляя общее решение из действительных и мнимых частей этих решений для найдем

Известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка

(3.9)

эквивалентно линейной, однородной системе

(3.10)

Будем считать все

Характеристическая матрица для (3.10) в этом случае будет иметь вид

или

.

Если же вычеркнуть из матрицы первый столбец и последнюю строку, получим определитель равный +I или –I. Следовательно, характеристический многочлен, если имеет корень кратности , то матрица имеет элементарный делитель . Поэтому корню будут соответствовать линейно независимых решений вида

(3.11)

Таким образом, методы решения систем типа (3.3) могут быть использованы для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка, разрешенных относительно производных.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Обозначим

Тогда

(3.12)

Характеристическое уравнение системы (3.12) имеет вид

т.е

или .

Поскольку корень имеет кратность , то, учитывая (3.111), получим общее решение (3.12), а следовательно, и исходного уравнения третьего порядка в виде

Для нахождения общего решения нормальных систем дифференциальных уравнений вида

(3.13)

применяется также метод последовательного исключения неизвестных функций, то есть сведение системы (3.13) к уравнению вида (3.9). Для этого, дифференцируя первое уравнение из (3.13) по , получим

Используя тот факт, что найдем

(3.14)

Определим из первого уравнения системы (3.13)

Подставим в (3.14) и, таким образом, исключим эту неизвестную функцию из (3.14). Продолжая эту процедуру, можно получить уравнение n-го порядка для одной неизвестной функции.

Пример 5. Найти общее решение

Решение. .

Характеристическое уравнение имеет вид

или

тогда общее решение можно записать

4. Задачи для самостоятельного решения

В следующих уравнениях: 1) найти общие решения уравнений; 2) найти частные решения по начальному условию при

1. 2. 3. 4.

Найти общие решения уравнений:

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

13. при

14. при

15. при

16. при

17. при

18. при

19. при

20. при

21. при

22. при

23. при

Найти общие решения уравнений:

24. 25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32.