Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

. (3.8)

Алгебраическое уравнение (3.8) называется характеристическим уравнением для системы типа (3.3) с постоянными коэффициентами .

Среди корней характеристического многочлена с действительными коэффициентами в правой части (3.8) могут быть:

1) простые действительные корни ;

2) кратные действительные корни кратности , при этом сумма всех кратностей, включая простые корни где - число различных корней;

3) среди корней есть комплексно-сопряженные пары

простые или кратные.

Соответственно этим случаем из (3.5) могут иметь следующий вид:

1. Все - действительные и различные.

Тогда фундаментальная система решений может быть записана следующим образом:

Здесь находятся для каждого из (3.7) при соответствующем значении При этом общее решение (3.4) для данного случая имеет вид

;

;

.

Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим образом:

где .

Запишем характеристическое уравнение (3.8) для этой системы

.

Корни этого уравнения все действительные и различные, следовательно

.

Найдем из (3.7) , соответствующие корню

Так как определитель этой системы , то одно из неизвестных можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку

и ранг этой системы равен двум. Пусть , тогда и . Поэтому

Для определения получим

.

Так как положим , при этом поэтому и следовательно .

.

Аналогично для нахождения будет

.

Пусть тогда поэтому

.

Общее решение системы будет иметь вид

2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные.

Пусть корень имеет кратность , тогда этому корню в фундаментальной системе решений будут соответствовать строк:

………………………………………………………………..

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

или .

Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет

то есть

или .

Запишем фундаментальную систему решений

; .

Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим однородную систему уравнений для определения с рангом

Следовательно, из искомых постоянных две произвольны, например, , поэтому из этой системы для остальных будет Отсюда общее решение исходной системы будет

3. Если среди корней характеристического уравнения (3.7) есть комплексное спряженные пары , то этим корням будут соответствовать частные решения

причем определяются из систем (3.7). Можно показать, что действительные и мнимые части также являются решениями системы (3.2). Таким образом, можно записать два частных решения:

,

где - действительные коэффициенты, связанные с

Следовательно, можно составить фундаментальную систему решений только из действительных решений.

Пример 3. Дана система дифференциальных уравнений

Найдем ее общее решение.

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы имеет вид

или

корни этого уравнения

Подставляя эти корни в (3.7), получим

Соответствующее частное решение будет

.

Для , получим соответственно

Поскольку из четырех получившихся функций в общее решение для должны войти лишь два линейно независимых решения с произвольными постоянными преобразуем получившиеся решения следующим образом