Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

и общее решение можно записать в виде

(2.18)

Формула (2.18) выражает закон движения груза, подвешенного на пружине, т. е. отклонение у груза от положения равновесия в любой момент времени t. Согласно этой формуле груз совершает, как говорят, свободные гармонические колебания около положения равновесия. Величина А называется амплитудой колебаний,  частотой колебаний и  начальной фазой.

Для того чтобы выделить из общего решения частное, необхо­димо задать начальные условия движения. Пусть в начальный мо­мент времени t = 0 отклонение и скорость груза известны:

(2.19)

Тогда, дифференцируя, получаем

(2.20)

подставляя начальные условия (2.18) в (2.19) и (2.20), имеем

(2.21)

Отсюда, выражая произвольные постоянные А и через и и подставляя их значения в (2.18), получаем искомое частное реше­ние, удовлетворяющее начальным условиям (2.19).

Из формул (2.21), в частности, следует, что постоянные А и зависят от частоты колебаний и начальных условий движения. Частота же колебаний не зависит от начальных условий, а зависит от отношения коэффициента жесткости пружины к массе груза .

Пусть теперь отсутствует внешняя сила , но имеет место сопротивление среды ( ), например сопротивление воздуха. В этом случае уравнение (2.17) принимает вид

. (2.22)

Характеристическое уравнение имеет корни . Здесь возможны три случая.

1) . Тогда корни и  действительные, различные и отрицательные. Общее решение уравнения (2.22) имеет вид

.

Из полученной формулы следует, что груз колебаний не совершает, при неограниченном возрастании t отклонение груза у бесконечно долго приближается к положению равновесия ( при ). В этом случае говорят, что груз совершает непериодическое затуха­ющее движение.

2) . Тогда корни  действительные равные и отрицательные. Общее решение уравнения (2.22) имеет вид

В этом случае груз совершает движение, аналогичное предыдущему.

3) . Тогда корни и  комплексные. Общее решение уравнения (8) имеет вид где . Заменяя и на постоянные А и , запи­шем решение уравнения (2.22) в виде .

Здесь, в отличие от формулы (2.18), амплитуда зависит от вре­мени t. Так как , то амплитуда стремится к нулю при . Поэтому в данном случае груз совершает свободные затухающие колебания около положения равновесия.

В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я. Р е з о н а н с. Рассмот­рим теперь случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила предполагая для простоты, что сопротивление среды от-сутствует ( = 0). В этом слу­чае уравнение (2.22) принимает вид

(2.23)

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициен­тами. Известно, что общее решение этого уравнения является сум­мой общего решения Y соответствующего однородного уравнения, которое было найдено выше (см. формулу (2.18)), и частного решения неоднородного уравнения, которое надо найти.

Рассмотрим отдельно два случая.

а) , т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число не совпа­дает с корнем характеристического уравнения , то частное решение можно найти в виде

.

Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (2.23), найдем: Таким образом,

и общее решение уравнения (2.23) имеет вид

(2.24)

Как следует из формулы (2.24), частное решение определяет колеба­ние системы, создаваемое внешней силой, общее решение  свободное колебание груза, а общее решение у  сложное колебательное движение, получающееся в резуль­тате сложения двух колебаний с разными частотами и .В этом случае амплитуда постоянна, и если и близки по величине, то груз совершает колебания около положения равно­весия с большой амплитудой.

б) = , т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как i =i  корень характеристического уравнения , то в этом случае частное решение следует искать в виде

Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (2.23), найдем: . Таким образом,

и общее решение уравнения (2.24) имеет вид

Как следует из найденной формулы, в данном случае, как и в пре­дыдущем, имеет место сложное колебательное движение, получаю­щееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами.

Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограничен­ном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через неко­торый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.

На примере груза, подвешенного на пружине, рассмотрен случай механических колебаний упругих систем (к ним относится колеба­ние на рессорах вагонов, автомобилей и т. п.). Аналогичное иссле­дование проводится и при изучении электрических, звуковых и многих других колебаний. Главную роль в этих исследованиях играют линейные дифференциальные уравнения.

В заключение отметим, что изложенная теория линейных диффе­ренциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.

3. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Из общей теории систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных

следует, что общее решение линейной однородной системы

с матричной записью (3.3)

есть линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами из решений, составляющих фундаментальную систему решений (3.3)

(3.4)

фундаментальная система решений (3.3) есть совокупность n – линейно-независимых решений ; n – мерных вектор-функций вида

(3.5)

Пусть коэффициенты матрицы , - постоянные числа. Будем искать частное решение (3.3) в виде

. (3.6)

Необходимо найти постоянные так, чтобы функции удовлетворяли системе (3.3) .

Подставляя (3.6) в (3.3), получим однородную систему уравнений

(3.7)

Эта система всегда имеет тривиальное решение

.

Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель системы (3.7) должен быть равен нулю, то есть