Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Из вычислений видно, что остаток D(x), получившийся при делении равен нулю. То есть деление многочленов прошло без остатка.

Пример: Вычислить частное и остаток от деления полиномов x4 – 4x3 + 3 и x2 + 5x – 2.

Разделим полином x4 – 4x3 + 3 на полином x2 + 5x – 2.

В результате получим честное степени два и остаток степени один:

3.3. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля Бином Ньютона.

Гениальный английский математик Исаак Ньютон (1643–1727) составил алгоритм, позволяющий возводить сумму двух слагаемых в степень с любым показателем. Данный алгоритм можно записать в виде алгебраического выражения, которое получило название бинома Ньютона:

a b n Cn0an Cn1an 1b ... Cnm an mbm ... Cnnbn .

Каждое m-тое слагаемое полинома n-й степени, полученного в правой части формулы, содержит произведение количества сочетаний из n по m и соответствующих степеней биномиальных слагаемых Cnm an mbm . Формулу можно записать, используя специальный знак суммы:

n

a b n Cni an ibi . i 0

Пример. Возвести в пятую степень выражение (2x – 1).

51

Решение. Используя формулу получим выражение, состоящее из шести слагаемых:

C50(2x)5( 1)0 C51(2x)4( 1)1 C52(2x)3( 1)2 C53(2x)2( 1)3 C54(2x)1( 1)4 C55(2x)0( 1)5 .

Вычисляя значения сочетаний и степеней, выражение преобразуется в следующий вид:

1 32x5 1 5 16x4 ( 1) 10 8x3 1 10 4x2 ( 1) 5 2x 1 1 1 ( 1).

Преобразуя каждое слагаемое, окончательно получим:

32x5 80x4 80x3 160x2 10x 1.

Пример. Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении

(3x + 2y)4.

Решение. Подставим выражение (3x + 2y)4в формулу бинома Ньютона:

C44 3x 4 2y 0 C43 3x 3 2y 1 C42 3x 2 2y 2 C41 3x 1 2y 3 C40 3x 0 2y 4 .

Рассчитаем числа сочетаний и коэффициенты при неизвестных:

1 81x4 1 4 27x3 2y 6 9x2 4y2 4 3x 8y3 1 1 16y4 .

Перемножив коэффициенты, получим:

81x4 216x3y 216x2 y2 96xy3 16y4 .

Пример. Найти коэффициент, стоящий перед x9 многочлена 2x 1,5 11. Решение. Зная алгоритм разложения двучлена 2x + 1,5 в 11-ую степень,

рассчитаем числовой коэффициент третьего слагаемого:

Треугольник Паскаля

Выдающийся французский ученый Блез Паскаль (1623–1662), работая с комбинаторными и алгебраическими задачами, выдвинул оригинальный метод упрощения расчета биномиальных коэффициентов. Суть метода сводится к построению треугольной таблицы, элементы которой являются числами сочетаний, использующихся в разложении степени биномов.

52

Треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Несложно заметить, что все внутренние коэффициенты таблицы обладают следующим свойством: каждое число Треугольника Паскаля равно сумме двух чисел, над ним стоящих. Учитывая данное свойство можно неограниченно продолжать данную таблицу.

Пример. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в выражении

a 2b 4 .

Решение. С помощью Треугольника Паскаля найдем биномиальные

Учитывая этот факт, подставим выделенные коэффициенты Треугольника Паскаля в формулу бинома Ньютона:

1 a4 2b 0 4 a3 2b 1 6 a2 2b 2 4 a1 2b 3 1 a0 2b 4

Упрощая данное выражение, получим:

a4 8a3b 24a2b2 32ab3 b4

3.4. Корни многочленов

Корнем многочлена P(x) называется число, при подстановке которого в многочлен выполняется тождество:

53

P(x) = 0.

Пример. Число 5/3 является корнем полинома 9x4 - 6x3 - 46x + 35, так как

9∙(5/3)4 – 6∙(5/3)3 – 46∙(5/3) + 35 = 0.

Теорема. Число корней (в том числе и комплексных) многочлена P(x) степени n, учитывая кратные корни равно n.

Пример. Число корней полинома x4 - 3x3 + 6x2 – 12x + 8 равно четырем. Из них два корня x1 = 1 и x2 = 2 являются действительными числами, а два корня x3 = –2i и x4 = 2i - комплексными.

Теорема. Полином P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0 с вещественными коэффициентами a0, a1, …, an и корнями x1, x2, …, xn можно записать в виде:

P(x) = an(x – x1) (x – x2) … (x – xn).

Пример. Полином x4 - 3x3 + 6x2 – 12x + 8 можно записать как произведение:

(x – 1) (x – 2) (x + 2i) (x – 2i).

Для нахождения корней полиномов высоких степеней последовательно определяют очевидные корни и, используя теорему о разложении многочленов на множители, делят полиномы на x – xi.

Пример. Найдем корни полинома x5 + x4 – 5x3 – 7x2 + 10x.

Так как степень полинома равна 5, то он будет иметь ровно 5 корней. Очевидно, что одним из корней полинома является число 0.

Пусть x1 = 0. Разделим полином на бином x – x1 = x – 0 = x. В результате получим многочлен x4 + x3 – 5x2 – 7x + 10 степени 4.

Увидим еще один корень x2 = 1 и разделим новый полином на x – 1.

54

Очевидно, что одним из корней получившегося полинома 3-й степени x3 + 2x2 – 3x – 10

является число 2. Таким образом, x3 = 2. Разделим этот многочлен на x – 2.

В результате получим многочлен x2 + 4x + 5 степени 2. Найдем его корни.

Выпишем все полученные корни: {0; 1; 2; –2 – i; – 2 + i}.

Пример. Разложить на множители полином x4 + 4x3 – 31x2 – 46x + 168. Так как степень полинома равна 4, то он будет иметь ровно 4 корня. Очевидно, что одним из корней полинома является число 2. Пусть x1 = 2.

Разделим полином на двучлен x – 2.

В результате получим многочлен x3 + 6x2 – 19x – 84 степени 3.

55