Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Очевидно, что одним из корней получившегося полинома 3-й степени x3 + 6x2 – 19x – 84

является число 4. Таким образом, x2 = 4. Разделим этот многочлен на выражение x – 4.

В результате получим многочлен x2 + 10x + 21 степени 2. Найдем его корни.

D b2 4ac .102 4 21 1 16

Выпишем в порядке возрастания полученные корни: { -7; -3; 2; 4}.

56

Глава 4. Матрицы и определители

При изучении различных по природе и физическим характеристикам явлений или процессов исследователь часто имеет дело с целым набором различных данных, которые оформляются в виде числовых прямоугольных таблиц. Дальнейшая обработка этих данных, анализ полученных результатов также предполагает работу с табличными формами.

Методы математической статистики, математического моделирования, построения прогнозов предполагают глубокую аналитическую работу по исследованию этих таблиц, выполнению различных операций и преобразований с комплексами этих данных.

Для математической обработки числовых таблиц введено понятие матрицы, представляющей числовой двумерный массив. Для матриц установлены преобразования, определены алгебраические операции, предложены оценки их качественных характеристик.

4.1. Основные понятия матричного счисления Понятие матрицы

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа m и n называются порядками матрицы. В случае если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.

Для записи матрицы обычно применяются круглые скобки, а для краткого обозначения матрицы часто используются заглавные латинские буквы:

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

57

Элементы матрицы могут иметь любые значения из множества действительных чисел.

Пример. Ниже представлена матрица порядков 3х2.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой порядков m и n, если все ее элементы равны нулю. Она обозначается символом O. В качестве примера приведем нулевую матрицу порядков 2 и 3.

Пример. Нулевая матрица порядков 2х3.

Квадратные матрицы

Матрица называется квадратной, если ее порядки совпадают. В этом случае количество строк матрицы совпадает с количеством ее столбцов.

В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ a11, a22, …, ann, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ an1, a(n-1)2, …, a1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол:

Среди квадратных матриц отметим, так называемые, симметричные матрицы. Действительно, для таких матриц наблюдается симметрия

58

относительно их главных диагоналей. Таким образом, для каждой пары элементов aij и aji. симметричной матрицы А выполняется равенство:

aij = aji.

Пример. Симметричная матрица порядков 4х4.

Еще одним классом квадратных матриц являются треугольные матрицы. Матрица А называется верхней треугольной, если все ее элементы, находящиеся ниже главной диагонали, равны нулю, и соответственно нижней треугольной, если все ее элементы, находящиеся выше главной диагонали, равны нулю.

Пример. Ниже представлены верхняя треугольная матрица B и нижняя треугольная матрица С.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид:

где d1, d2, ..., dn –произвольные числа.

В классе всех диагональных матриц рассмотрим матрицы с совпадающими элементами di, то есть такие матрицы у которых элементы главной диагонали равны между собой: d1 = d2 = ... = dn.

59