Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

3) существованием нуля:

A + O = O + A.

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на вещественное число k называется матрица С, элементы которой равны:

cij = kаij (i = 1,2, ..., n; j = 1, 2, ..., m).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = kA или С = Аk. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Пример. Умножим матрицу A на число 3.

Непосредственно из определения ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)коммутативностью: kА = Ak;

2)ассоциативностью относительно числового множителя:

(kp)А = k(pA);

3)дистрибутивностью (распределительным свойством) относительно суммы матриц:

k(А + B) = kA +kB;

62

4) дистрибутивностью относительно суммы чисел:

(k + p)А = kА + pA.

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков n и m естественно назвать такую матрицу С тех же порядков n и m, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = А – В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = А + (-1)B.

Матричное произведение

Произведением матрицы А, имеющей порядки, соответственно равные n и m, на матрицу В, имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С, имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы cij определяемые формулой:

Выше указанная формула представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = АВ, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-u строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = АВ. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

63

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Пример. Умножим матрицу A на матрицу B.

В частности, оба произведения АВ и ВА можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы АВ и ВА будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными.

Пример. Найдем матричные произведения AB и BA.

однако

Для того чтобы оба произведения АВ и ВА не только были определены, но

иимели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А

иВ были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Из определения вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:

1.) ассоциативность относительно произведения матриц:

(АВ)С = А(ВС);

64

2) дистрибутивность относительно суммы матриц:

(А + В)С = AC + ВС или А(В + С) = АВ + АС; 3.) существование единицы:

AE = EA = A.

Вопрос о коммутативности произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (так как только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков). Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято называть коммутирующими. Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, коммутативностью.

Пример. Рассмотрим две матрицы.

4.3. Определители Понятие определителя

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу A любого порядка n:

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. В отличие от матрицы для обозначения определителя употребляют не круглые,

65