Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013
Пр имер 5.5 ([3], № 2.101). |
Отобразить на верхнюю полуплос- |
||||
кость |
Im w > 0 полуплоскость |
Im z > 0 с разрезом по дуге окруж- |
|||
ности |
|
z |
|
=1 от точки z =1 до точки z = eiα , где 0 < α < π (рис. 5.16 |
|
|
|
||||
и 5.17 ).
Рис. 5.16 Рис. 5.17
|
|
|
Решение. Делаем |
поэтапно. |
Сначала |
|
применим дробно- |
|||||||||||
линейную функциюw |
= |
z −1 |
, получим ре- |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зультат, показанный на рис. 5.18. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Так как при этом преобразовании дейст- |
|
|
|
||||||||||||
вительная ось переходит в действительную, |
|
|
|
|||||||||||||||
верхняя полуплоскость переходит в верх- |
|
|
|
|||||||||||||||
нюю полуплоскость, единичная окружность |
|
|
|
|||||||||||||||
|
z |
|
=1 переходит в мнимую ось, |
точка |
z =1 |
|
|
Рис. 5.18 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
переходит в точку w = 0 , точка z =eiα |
переходит в точку |
|||||||||||||||||
|
|
|
e −1 |
( |
|
iα |
|
)( |
−iα |
|
) |
−e + e |
|
2i sin α |
||||
|
|
|
iα |
|
e |
|
− |
1 e |
|
|
+1 |
|
|
−iα |
iα |
|
|
|
w = eiα +1 = (eiα +1)(e−iα +1)= 2 + eiα + e−iα = 2 + 2 cosα =
αα
=i2sin 2 cos 2 = i tg α . 2 cos2 α2 2
Далее: w = w2 |
(рис. 5.19), |
w = w + tg2 α |
(рис. 5.20), w = w |
||||||||
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
2 |
|
2 |
α |
|
||
(рис. 5.21). Окончательный ответ: |
|
|
|
+ tg |
|
2 |
. |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|||
66
Рис. 5.19 |
Рис. 5.20 |
Рис. 5.21 |
||||
Пр имер 5.6 ([3], |
№ 2.118). Отобразить единичный круг |
|
z |
|
< 1 с |
|
|
|
|||||
выки нутым отрезком (1−h)eiα,eiα (рис. 5.22) на единичный круг
|w| < 1 .
|
|
Рис. 5.22 |
|
|
|
Рис. 5.23 |
|||
Решение. Сначала получим единичный |
|||||||||
круг |
разрезом по действительной оси [0;1] |
||||||||
(рис. 5.23): |
|
|
|
(1 −h)eiα − z |
|||||
|
|
|
w = e−iα |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z (1 −h)e−iα −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(см. таблицу отображений). |
|||||||||
Далее: |
|
|
|
|
|
|
|
||
w2 |
= |
w1 (рис. 5.24), |
|||||||
w3 |
= 1 |
w2 + |
1 |
(рис. 5.25), |
|||||
|
|||||||||
|
|
2 |
|
w2 |
|
|
|||
w |
= w = − |
w3 +i |
(рис. 5.26). |
||||||
|
|||||||||
4 |
|
|
|
w3 −i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
Рис. 5.24
Рис. 5.25
Рис. 5.26
Пр имер 5.7 ([3], |
№ 2.166). Отобразить на верхн юю полуплос- |
кость полуполосу |
0 < x < π, y > 0 с разрезом вдоль отрезка |
x = π2 , 0 ≤ y ≤ h (рис. 5.27).
Рис. 5.27 Рис. 5.28 Рис. 5.29
Решение. Сначала |
w1 = −cos z (рис. 5.28), далее по таблице |
||
|
|
|
|
изображений w = |
w 2 |
+sh2 h (рис. 5.29). |
|
2 |
1 |
|
|
Рекомендуемый перечень задач для решения в ау дитории:
5.1 (2, 3); 5.2 ([3], № 2.30); 5.4; 5. 5; [3] № 2.164; 5.7 ([3], № 2.166).
Резерв:
[3], № 2.97, № 2.117; 5.6 ([3], № 2. 118).
Для самостоятельной работы дома:
5.1 (1); [3], № 2.100; 5.3 ([3], № 2. 31); [3] № 2.107 (8), № 2.167.
68
6. ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть на комплексной плоскости z задана кривая γ, соединяющая точки А и В, и на этой кривой задана функция w = f (z) . Про-
изведем разбиение кривой точками A = z0 , z1, z2 ,… , zn = B . Обозначим разность zi+1 − zi = zi (i = 0,1,…,n −1) . На кривой между соседними точками разбиения возьмем произвольно точки ξi и
составим интегральную сумму
n
σ = ∑ f (ξi ) zi .
i=1
Увеличивая число точек разбиения n → ∞ так, чтобы характе-
ристика разбиения λ = max |
|
zi |
|
→ 0 , получим предел инте- |
|
|
|||
i=0,1...,n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
гральных сумм, который, если он существует, называется интегралом по комплексной переменной вдоль кривой γ: lim σ = ∫ f (z)dz .
λ→0
n→∞ γ
Этот интеграл сводится к криволинейному интегралу второго рода от действительных функций двух действительных переменных х и
у, где |
z = x +iy , |
вдоль кривой |
γ. Действительно, если |
w = f ( z) = u (x, y) +iυ( x, y) , а dz = dx +idy , то |
|||
∫ f (z)dz = ∫(u +iυ)(dx +idy) = ∫udx −υdy +i∫υdx +udy . |
|||
γ |
γ |
γ |
γ |
Если кривая γ замкнута, без самопересечений (будем называть ее контуром), а функция f (z) аналитическая внутри γ и непрерыв-
ная в области с границей, то функции и и υ непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, при этом справедлива формула Грина
|
|
∂Q |
− |
∂P |
∫ Pdx +Qdy = ∫∫ |
∂x |
dxdy |
||
γ |
D |
|
∂y |
|
(D – область с границей γ). В нашем случае:
69
|
|
− |
∂υ |
− |
∂u |
|
, |
||
∫udx −υdy = ∫∫ |
∂x |
∂y |
dxdy |
||||||
γ |
D |
|
|
|
|
|
|||
∫υdx +udy = ∫∫ ∂u − |
∂υ |
dxdy . |
|
||||||
γ |
D ∂x |
|
∂y |
|
|
|
|||
Оба двойных интеграла по области D равны нулю в силу условий Коши–Римана. Таким образом, если контур γ ограничивает об-
ласть аналитичности функции f (z) , то ∫ f (z)dz = 0 (теорема Ко-
γ
ши). Отметим, что теорема Коши справедлива и для многосвязной области, где γ – совокупная граница всей многосвязной области. Из теоремы Коши следует интегральная формула Коши:
|
1 f (ζ)dζ |
|
||
f (z) = |
|
∫γ |
|
, |
2πi |
ζ− z |
|||
где контур γ охватывает область аналитичности функции f (z) , а точка z находится внутри него, ζ γ. Действительно, рассматривая двусвязную область, ограниченную извне контуром γ, а изнутри окружностью ζ− z =ε с центром в точке z, по теореме Коши полу-
чим: |
f (ζ)dζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ζ)dζ |
|
|
|
|||
∫ |
− |
|
∫ |
= 0 |
||||||||||||
ζ− z |
ζ− z |
|||||||||||||||
γ |
|
|
|
ζ−z |
=ε |
|
|
|||||||||
или |
|
f (ζ)dζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ζ)dζ |
|
||||
|
∫ |
|
= ∫ |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
γ ζ− z |
|
|
|
|
ζ−z |
|
=ε |
ζ− z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обозначим ζ− z = εeiφ , dζ = iεeiφdφ. Интеграл справа будет равен
2π |
f (z +εeiφ)iεeiφdφ |
2π |
iφ |
|
|
iφ* |
|
|
∫ |
|
|
= i ∫ f (z +εe |
|
)dφ = i f (z +εe |
|
)2π |
|
εe |
iφ |
|
|
|||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(по теореме о среднем для интеграла). |
|
|
lim f (z +εeiφ ) = f (z) , от- |
|||||
Ввиду непрерывности функции f (z) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
куда и получаем формулу Коши, которая также справедлива для многосвязной области.
70