Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Плоскость за вычетом

Плоскость с разрезом по

w =

z − z1

отрезка прямой, соеди-

действительной поло-

z2 − z

няющего точки z1 и z2

жительной полуоси

Плоскость с разрезом по

Плоскость с разрезом по

w =

z1

− z

внешности отрезка пря-

действительной поло-

z2

− z

мой, соединяющего точ-

жительной полуоси

ки z1 и z2

Плоскость с разрезом по

Верхняя полуплоскость

w = z

действительной положи-

Im w > 0

тельно й полуоси

Верхняя полуплоскость с

Верхняя полуплоскость

w =

z − x

2

+h2

разрезом z = x0 + iy

Im w > 0

0

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Единичный круг

z

<1

Плоскость с разрезом по

Функция

Жуковско-

отрезку действительной

го

оси −1 ≤ u ≤1

w =

1

1

2

z +

z

(а также внешность этого

круга)

Нижний полукруг

z

<1 ,

Верхняя полуплоскость

1

1

Im w > 0

w =

2

z +

z

Im z < 0

Полукруг

z

<1 ,

Круг

w

<1

В два этапа:

Im z > 0

w1

=

1

+

1

2

z

z

w

= −

w1 +i

= w

2

w1

−i

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Плоскость с разрезом

по

Единичный круг

w

<1

Функция,

обратная

отрезку действительной

функции Жуковского

оси −1 ≤ x ≤1

w = z + z2 −1 (вто-

рая ветвь этой функ-

ции отображает во

внешность

этого

круга)

Единичный круг

z

<1

с

Верхняя полуплоскость

В 3 этапа:

Im w > 0

w1 = e−iα

z0 − z

разрезом по отрезку ра-

z z0 −1

диуса arg z = α ;

z0

≤

z

≤1

w = w3 =

1

1

= −

2

w2 +

w

2

Единичный круг

z

<1 с Единичный круг

w

<1

В 2 этапа:

z − z

разрезом по отрезку ра-

w1 = e

−iα

;

zz0 −1

диуса:

arg z = α ;

z0

≤

z

≤1

w =

w

2

1

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

(а далее см. преобра-

зовани е полукруга в

круг)

Полоса 0 < y <2π

Плоскость с разрезом по

действительной поло-

жительной полуоси.

w =ez

Полоса 0 < y < π

Верхняя

полуплоскость

Im w > 0

w =ez

Полуполоса

Верхняя

полуплоскость

{0 < x < +∞, 0 < y < π}

Im w > 0

w =chz

Отображаемая область

Образ отображения

Отображающая

(или множество)

функция w = f (z)

Полоса

Плоскость с разрезом по

{0 < x < π, −∞ < y < +∞}

действительной оси

w = cos z

u

(

−∞; −1 1; +∞

)

;

{

] [

υ= 0}

Верхняя полуполоса

Нижняя полуплоскость

{0 < x < π; 0 < y < +∞}

Im w < 0

w = cos z

π

< x <

π

Плоскость с разрезом по

Полоса −

;

действительной

оси

2

2

{u (−∞;−1] [1;+∞),

−∞ < y < +∞}

υ= 0}

w = sin z

π

< x <

π

Верхняя

полуплоскость

w = sin z

Полуполоса

−

;

Im w > 0

2

2

0 < y < +∞}