Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

особые точки

будут определяться внутренней функцией

1

,

sin

1

z

особенности которой совпадают с особенностями функции

ctg

1

,

1

z

рассмотренной в примере 9.12. Т.е. у функции

особые точки

sin 1

1

z

zk =

( k = ±1, ±2... ) – полюсы первого порядка,

в этих точках

kπ

1

функция

обращается в бесконечность.

Отсюда следует от-

sin 1

z

1

сутствие предела для исходной функции f (z) = sin

, так как

1

sin

z

для sin z

справедливы те же рассуждения, что и для экспоненты об

Эйлера через разность экспонент:

sin z =

eiz −e−iz

). Следовательно,

1

2i

для функции

f (z)

точки zk =

являются существенно особыми

kπ

z = 0

точками, а точка

–

точка накопления существенно особых

точек.

z =∞. Так как при z →∞ sin 1 ~

1 , то

Осталось исследовать

z

z

1

sin z точка z =∞ является сущест-

f (z) = sin

~ sin z

, а для

1

sin

z→∞

z

f (z) . Окончательный получаем: z =

1

, ( k = ±1, ±2... ) – сущест-

kπ

№ 4.59.

f (z) =

z

, z = 4. Домножим числитель и знамена-

1+

z −3

тель на 1−

z −3 :

f (z) =

z(1−

z −3)

. Из этого выражения видно,

4 − z

что для той ветви функции, для которой

1 =1 точка z = 4 являет-

ся правильной, а для ветви

1 = −1 эта точка является полюсом

первого порядка.

1

№ 4.60.

f (z) =

, z = 1.

Преобразуем функцию к виду

z + 3 z

1

=

1

=

1 1− 6

z

=

z + 3

3 z (1+ 6 z )

3 z 1− 3

z

z

=

1 (1− 6

z )(1+ 3

z +

3

z2 )

=

1

(1− 6 z )(1+ 3 z + 3 z2 )

,

1− z

3

z (1− 3

z )(1+ 3

z +

3

z2 )

3 z

откуда видно, что для той

ветви функции

f ( z) , для которой

1 = −1 и

3 1 =1 точка z = 1 является полюсом первого порядка.

Для остальных ветвей эта точка правильная.

№ 4.61.

f (z) =

2z +3

, z = 1. Преобразуем функцию f ( z) к

z

1+ z −2

виду

2z +3

(2z +3)(1+ z + 2 z )

f (z) =

=

=

1+ z −2 z

(1+ z −2

z )(1+ z + 2

z )

= (2z +3)(1+ z +2

z ) = (2z +3)(1+ z +2 z ) ,

(1+ z)2 −4z

(1− z)2

откуда видно, что для той ветви, для которой

1 =1 , точка z = 1

является полюсом второго порядка,

а для ветви, для

которой

1 = −1 эта точка правильная.

1

№ 4.62. f (z) = cos

,

z = 1.

Записав

функцию

в виде

1+ z

№ 4.63.

f (z) =

1

, z = 4. Для той ветви функ-

(2 + z )sin(2 − z )

счет синуса, а производная

(sin(2 − z ))' =

−cos(2 − z )

в точке z

2 z

2 + z , а так как

1

=

2 − z

, то для этой ветви точка z = 4

+ z

4 − z

2

также является полюсом первого порядка.

№ 4.64. f (z) = ctg

1

, z = (1 +

1

)2

, где k = ±1, ±2,..., и z = 1.

1 +

z

πk

Для той ветви функции, для которой

1 = 1, точка z = 1 является

правильной, так же как и точка

z = (1+

1

)2 . Для той ветви, для

πk

которой

1 = −1, точка z = 1 является точкой, предельной для по-

люсов,

так как ctg

1

имеет

для

этой ветви особые точки

1+

z

sin

1

= 0

1

= πk z = (1+

1

)2 , k = ±1,±2,..., и точки

+ z

+ z

πk

1

1

№ 4.65. f (z) =

1

,

z =

2(1+ πk)2

, где k = ±1,

sin(1+

z

)

(1+ πk)2 −

1

z −2

натель нулю:

sin(1+

z

) = 0 1+

z

= πk .

z

−

2

z −2

Для той ветви, для которой

1 =1

точка z = ∞ – правильная

точка, а для ветви

1 = −1

–

полюс

1-го

порядка.

Точки

z =

2(1

+ πk)2

– для первой ветви правильные, а для второй – по-

(1+ πk)2 −1

люсы первого порядка, так как в любой точке z

k

=

2(1+ πk)2

вы-

(1+ πk)2

−1

ражение под знаком синуса равно

2(1+ πk)2

1+

z

=1+

(1+ πk)2 −1

=1+ (1+ πk)

2

=1±(1+ πk)

z

−2

2(1

+ πk)2

−2

(1+ πk)2 −1

(для первой ветви знак плюс, для второй – минус).

№ 4.66.

f (z) = sin

1

,

z

= ∞ .

Рассуждая, как и в преды-

1+

z

z −2

№ 4.67. 1)

1

,

z = 1 ; 2)

1

,

z = 1 .

sin

Ln z

sin

Ln z

2i

4i

1)

Так

как Lnz = ln | z | +iφ + 2πki , то Ln 1 = 2πki sin

Ln 1

=

2πki

2i

= sin

= sin πk = 0 , для всех ветвей. Производная знаменателя в

2i

2)

Рассуждая,

как в предыдущем примере, получим, что

sin

Ln 1 = sin

πk

= 0

для k четных. Поэтому для этих ветвей точка

2

4i

№ 4.68.

f (z) = sin(ctg Ln z ) , z = 1 . В точке z = 1 Ln 1 = 2πki ;

2πki

πk

4i

ctg

= ctg

при

четном k котангенс обращается в ∞ и для

4i

2

этих k sin

в бесконечности имеет существенно особую точку. При

нечетных k точка z = 1

правильная.