Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013
Разложение в ряд Лорана имеет вид (в точке z0 = 0):
|
1 |
|
1 |
∞ |
|
|
2 |
|
5 |
|
(−1)n |
|
|||
f (z) − |
|
|
z |
+ ∑ |
|
− |
|
+ |
|
|
|
2n |
|
zn. |
|
2 |
3 |
12 |
|||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главнаячасть
Главная часть содержит один член. Причем показатель степени этого члена 1z равен 1. Поэтому точка z = 0 для указанной функции
является полюсом первого порядка. По этим же соображениям для функции f (z) = z2 точка z = ∞ является полюсом второго порядка.
Если |
функция |
f (z) |
представима в виде |
отношения |
|
f (z) = |
ϕ(z) |
, |
где φ(z) |
в точке z не обращается ни в нуль, ни в |
|
|
|||||
|
( z − z0 )k |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
бесконечность, то точка z0 |
является для функции f (z) |
полюсом k- |
|||
го порядка, т.е. в этом случае можно для определения порядка полюса и не прибегать к разложению функции в ряд Лорана.
Рассмотрим примеры, в которых требуется найти особые точки заданных функций и определить их характер.
Пример 9.1 ([3], № 4.23).
f (z) = z −1z3 .
Решение. Функцию представим в виде f (z) = 1 , от-
z (1− z)(1+ z)
куда, в соответствии с замечанием, сделанным выше, можно сделать вывод, что точки z = 0, 1 и −1 являются каждая полюсом первого порядка.
Пример 9.2 ([3], № 4.25).
f (z) = |
|
z5 |
. |
|
(1 |
− z)2 |
|||
|
|
Решение. Точка z =1 – полюс второго порядка. В этом примере, однако, и бесконечно удаленная точка является особой. Так как
предел lim |
|
z5 |
= ∞, то это полюс. Отметим, что если функция |
|
− z)2 |
||
z→∞ (1 |
|
||
126
может быть представлена при z →∞ в виде f (z) = znϕ(z),
lim ϕ(z) = a ≠ 0, то ∞ – полюс п-го порядка. В нашем случае
z→∞
где ϕ(z) = |
|
z2 |
|
(1 |
− z)2 |
||
|
f (z) = |
|
z5 |
|
= z3ϕ(z), |
|
(1 |
− z)2 |
||||
|
|
||||
и lim ϕ(z) =1. |
Поэтому на бесконечности мы |
||||
z→∞ |
|
|
|
|
|
имеем полюс третьего порядка.
Пример 9.3. Доказать что функции ez и e−z в качестве особой точки имеют только z =∞.
Решение. Это – существенно особая точка, в чем можно убедиться, пользуясь обоими критериями: пределом в этой точке и разложением в ряд Лорана. Действительно, например, функция
f (z) = ez не имеет при z →∞ ни конечного, ни бесконечного пределов, так как если находить этот предел вдоль действительной оси
(z = x) при x →+∞, то f (z) → +∞, если же x →−∞, |
то |
f (z) → 0. Уже это доказывает отсутствие предела при z →∞, |
так |
как по определению предел не должен зависеть от направления подхода.
Для наглядности можно рассмотреть и наличие предела, когда z →∞ вдоль мнимой оси, где z = iy. Тогда ez = eiy = cos y +i sin y (формула Эйлера) и при y → ∞ ни cos y , ни sin y не имеют предела.
Все это дословно относится и к функции e−z . Знак минус перед z не влияет на вывод об отсутствии предела. Распространенная
ошибка: e−z |
записывают как |
1 |
и ошибочно полагают, |
что при |
|||||||
ez |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
z →∞ функция |
→0 . Обратим внимание, |
что ряд Лорана |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
ez |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||
функции ez |
в бесконечности имеет вид ez = ∑ |
|
, |
т.е. |
главная |
||||||
n! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||
127
часть содержит бесконечно много членов. Из приведенных рассуждений сразу же вытекает, что в примере № 4.27 из [3], где
f (z) = |
|
ez |
, наличие в знаменателе выражения 1 + z2 |
не влияет на |
|
+ z2 |
|||
1 |
|
|
||
вывод о характере особенности в точке z =∞. Это – опять существенно особая точка, так как если z →∞ по действительной оси
(z = x) , то |
f (z) = |
|
ex |
→+∞ |
при x →+∞ и |
f (z) = |
|
ex |
→0 |
|
+ x2 |
|
+ x2 |
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
при x →−∞, т.е. предела нет. |
|
|
|
|
|
||||
Кроме z = ∞, здесь есть еще две особые точки, которые найдем,
приравняв знаменатель нулю: |
1+ z2 = 0 или z2 = −1, z = ±i, т.е. |
||
|
1,2 |
||
1+ z2 = (z −i)(z +i) и функция может быть записана в виде |
|||
f (z) = |
|
ez |
|
|
|
. |
|
|
( z +i)(z −i) |
||
Каждый множитель в знаменателе стоит в первой степени. Поэтому точка z =i – полюс первого порядка и точка z = −i - также полюс первого порядка. Аналогично в примере № 4.28 из [3] функ-
ция |
f (z) = |
z2 |
+1 |
имеет только одну особую точку: z =∞ – это су- |
||||||
ez |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
щественно особая точка. |
|
|
|
|
||||||
Пример 9.4 ([3] № 4.30). |
1 |
|
|
1 . |
||||||
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
− |
|||
|
|
|
|
|
ez −1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||
Решение. Функция представляет собой сумму двух слагаемых, из которых второе имеет только одну особую точку z = 0 – это полюс первого порядка, но и первое слагаемое в точке z = 0 имеет
полюс первого порядка (так как ez − 1 ~ z ). Так как эти слагаемые
z→0
вычитаются друг из друга, то мы имеем в точке z = 0 неопределенность типа "∞−∞" , которую раскроем по правилу Лопиталя:
1 |
1 |
|
z −ez +1 |
|
|
f (z) = |
|
− z |
= |
|
; |
ez −1 |
(ez −1) z |
||||
128
|
|
|
lim f (z) = lim |
(z −ez +1)' |
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z→0 |
z→0 (ez −1)z ' |
|
|
||||||
= lim |
1−ez |
= lim |
|
(1−ez )' |
|
= lim |
|
|
−ez |
= − 1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z→0 ez + zez −1 |
z→0 (ez + zez −1)' |
|
z→0 ez +ez + zez |
2 |
||||||||
Таким образом, |
у функции f (z) |
в точке |
z = 0 имеется конеч- |
|||||||||
ный предел, равный − 1 . |
Следовательно, это устранимая особая |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка.
У функции имеются и другие особые точки, которые найдем,
приравняв нулю знаменатель в первом слагаемом: ez −1 = 0 |
или |
ez =1 , откуда z = L n1 = ln1+i 0 +i2kπ = 2kπi (k = ±1, ±2...) |
(ис- |
пользуем здесь формулу для логарифма Lnz = ln | z | +iφ+ 2kπi ).
Так как функция в этих точках обращается в бесконечность, то это полюсы. Для определения их порядка воспользуемся легко доказы-
ваемым утверждением: если |
f (z) = φ(z) |
, |
где φ(z) аналитична в |
|
|
ψ(z) |
|
|
нуль n- |
окрестности точки z0 и φ(z0 ) ≠ 0 , а ψ(z) |
имеет в точке z0 |
|||
го порядка, то f (z) имеет в точке z0 полюс n-го порядка. |
|
|||
Так как функция ψ( z) = ez −1 , стоящая в знаменателе, |
в точках |
|||
z = 2kπi имеет первую |
производную, |
отличную от нуля |
||
(ψ' = e2kπi = 1) , то это является показателем того, что в этих точках она имеет нуль первого порядка.
Итак, для функции f (z) = |
1 |
|
− |
1 |
полюсами первого порядка |
|
ez −1 |
z |
|||||
|
|
|
||||
являются точки z = 2kπi ( k = ±1, ±2... ). Наличие слагаемого − 1z не влияет на характер особых точек, так как в них 1z особенности не имеет.
129
Обратим внимание на то, что эти полюсы первого порядка при k → ∞ попадают в любую окрестность точки z =∞. Поэтому последняя не является изолированной особой точкой (это точка накопления полюсов).
Пример 9.5 ([3], № 4.34).
|
f (z) = th z . |
|
|
Решение. Представим f (z) |
в виде th z = sh z |
. Знаменатель об- |
|
|
π |
ch z |
|
ращается в нуль в точках z = |
(2k +1)i (k = 0, ±1, ±2...) . Производ- |
||
|
2 |
|
|
ная знаменателя в этих точках отлична от нуля, т.е. эти точки являются для знаменателя нулями первого порядка, а следовательно, для функции f (z) – полюсами первого порядка. Так как эти полю-
сы при k → ∞ попадают в любую окрестность точки z =∞, то последняя не является изолированной особой точкой (точка накопления полюсов).
Пример 9.6 ([3], № 4.35).
− 1
f (z) = e z2 .
Решение. Экспонента в конечной части плоскости не имеет осо-
бых точек, а у функции − |
1 |
имеет особенность только в точке |
|
z2 |
|||
|
|
− 1
z = 0 . Поэтому cложная функция e z2 должна быть проверена на наличие особенности только в точках z = 0 и z =∞. В точке z = 0 показатель экспоненты обращается в бесконечность, а в этом случае, как мы видели (см. пример 9.3), экспонента не имеет предела ни конечного, ни бесконечного. Следовательно, для функции
|
− |
1 |
|
|
|
|
||
f (z) = e |
z2 |
точка z = 0 является существенно особой точкой. При |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
1 |
|
→0 и e− |
|
→1 , т.е. точка z =∞ является устранимой |
|||
z →∞ |
|
z2 |
||||||
|
|
z2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
особой точкой.
130