Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

1)

f ( z) =

z +1

. Точки ветвления ±1. Они

z −1

соединены разрезом. Поэтому ветви разделя-

ются.

Обозначим

z −1 = ρ eϕ ,

z +1 =ρ

eiϕ2

(рис. 2.5), тогда

1

1

2

z +1

=

ρ2 ei

φ2 −φ1 +2πk

(k = 0,1) .

2

z −1

Рис. 2.5

ρ1

В точке z0 = 2

ρ1 =1 ,

ρ2 =3 ;

ϕ1 = 0 ; ϕ2 =0 . Поэтому

f (2) = 3ei

2πk

ϕ −ϕ

2 = 3 k = 0 f (z) =

ρ2 ei 1 2 2 ;

ρ

lim ρ2 =1 ; ϕ ≈ ϕ

1

на бесконечности

≈ 0 .

ρ1

1

2

Ответ: f (∞) =1 .

2) f (z) = 3 (z +1) z2 . Точки ветвления z = 0 и

z = −1. Они со-

Обозначим

z =ρeiϕ ,

z +1 =ρ eiϕ1

;

φ1 +2φ+2πk

1

f ( z)

= 3 ρ2ρ1ei

(k = 0,1,2)

(рис. 2.6).

3

В точке z0 = 1

ρ = 1 ;

ρ1 = 2 ;

ϕ = ϕ = 0

f (1) = 3 2ei

2

πk =

3

1

3

2π

2π

3

2

(−1+i

3)

2

cos

k

+isin

k

=

3

3

2

Рис. 2.6

k =1 f ( z) = 3 ρ2ρ ei

ϕ +2ϕ+2π

1

3

.

1

В точке z = −i

ρ =1 , ρ

=

2 ,

ϕ = − π ;

ϕ = − π ;

2

2

1

4

5π

−

+2π

π

π

1

1

3

2

f (−i) =

3

2e

i

4

3

+isin

3

+i

(1+i).

3

=

2

cos

4

=

2

=

2

2

4

2

3)

w = Ln(z2 −1) . Точки ветвления

z = ±1 и z = ∞ . Они соеди-

нены разрезом (рис. 2.7) Разделение ветвей возможно.

Обозначим

z −1 =ρ eiϕ1 ;

z +1 =ρ

eiϕ2 ;

1

2

w = ln ρ1ρ2 +iϕ1 +iϕ2 +i2πk

(k = 0,±1...) .

В

точке z

0

= i :

ρ =ρ

2

= 2 ;

ϕ =

3π

,

1

1

4

π f (i) =ln 2 +iπ+i2πk =ln 2 +iπ

ϕ2 =

4

k = 0 f (z) = lnρ1ρ2 +iϕ1 +iϕ2 .

Рис. 2.7

В точке z =2 на нижнем берегу разреза ρ1 =1 ; ρ2 =3 ; ϕ1 = 2π;

ϕ2 = 0 f (2) =ln 3 +2πi .

4)

w = Ln

z +1

. Ответ: ln 3 −4πi .

z −1

[3] № 1.116. 1) w = z2 = ( x +iy)2 = x2 + 2ixy − y2 ;

u = x2 − y2 ;

v = 2xy , x = C u =C

2

− y

2

;

υ = 2Cy u = C

2

−

υ2

– парабола

4C

2

жаются в две различные точки параболы-образа этой линии; y = C ;

u = x2 −C2 , υ= 2xC ;

u =

υ2

−C2 –

парабола

при C ≠ 0 ; при

C = 0

4C

– отрицательная

действительная полуось

(взаимно одно-

значное отображение при

C ≠ 0 ); x = y ;

u = 0 ;

υ = 2x2 мнимая

положительная полуось.

Отображение

не

взаимно однозначно.

z

= R

– окружность. Отображается в

w = R2e2iϕ

(где z = Reiϕ) в

окружность радиуса R2 ,

проходимую дважды (отображение не

взаимно однозначно); arg z = α (луч) – отображается в луч w = 2α

(отображение взаимно однозначно).

[3]

№ 1.117. 2) Находим прообразы линий (на z -плоскости)

u = C ,

υ = C . Так как u = x2 − y2 , υ = 2xy ,

то линия u = С имеет

x − y = 0 ,

x + y = 0 .

Линия

υ = C

имеет

прообразом

линии:

2xy = C –

гипербола

y =

C

;

при

C = 0 –

пара прямых

x = 0 ,

2x

2.1

([3], № 1.61 (1,2)); 2.2

([3], № 1.66

(1,3));

2.3

([3], № 1.67

(1,3));

2.4

([3], № 1.68

(1));

2.5

([3], № 1.71

(1,3));

2.6

([3], № 1.73

(1));

2.7

([3], № 1.43

(1,3)), 2.8 ([3], № 1.74 (1,5));

2.9

(1,2,5); 2.10 (1,3);

2.11 ([3], № 1.116 (частично)).

2.1

([3], № 1.61

(

,

)); 2.2 ([3], № 1.66 (2));

2.3

([3], № 1.67

(2));

2.4

([3], № 1.68 (2)); 2.5 ([3], № 1.71 (2));

2.6

([3], № 1.73(2)); 2.8 ([3], № 1.74 (4)); 2.9 (3); 2.10 (2);

точки

z

комплексной плоскости определена функция

w = f (z) .

Производной

w'(z) = f '(z) называется предел

отношения

lim

w ,

где

z – приращение независимой комплексной пере-

z→0

z

w – прира-

менной, не выводящее ее из указанной окрестности, а

Если

приращение z

осуществляется вдоль оси y , то есть

x = 0 ;

z = i y , то производная приобретает вид

lim

u +i

υ = ∂υ

−i ∂u .

y→0

i y

∂y

∂y

∂u

=

∂υ

;

∂u

= −

∂υ.

(3.1)

∂x

∂y

∂y

∂x

ши–Римана для функций zn , ez ,

cos z ,

Lnz и доказать, что

(zn )′ = nzn−1 , (ez )′ = ez , (cos z)′ = −sin z, (Ln z)′ =

1 .

z

Решение.

Рассмотрим функцию w = zn . Возьмем z

в тригоно-

метрической форме:

z =ρ(cosϕ+isin ϕ) . Тогда

zn =ρn (cosnϕ+i sin nϕ) ,

т.е. u =ρ

n

cosnϕ; υ = ρ

n

sin nϕ. Вычислим

∂u

∂υ

∂u

∂υ

∂x

, ∂x ,

∂y

,

∂y

:

∂u = ∂u ∂ρ+

∂u ∂φ=nρn−1 cos nφ

∂ρ

−nρn sin nφ∂φ .

∂x

∂ρ ∂x

∂φ ∂x

∂x

∂x

Из определения полярных координат x =ρcosϕ,

дифференци-

руя оба

1 =

∂∂ρx cos φ−ρsin φ∂∂φx ,

y =ρsin ϕ,

0 = ∂∂ρx sin φ+ρcos φ∂∂φx .

уравнения по

, получим

Откуда

1

−ρsin φ

∂ρ

0

ρcos φ

ρcos φ

= cos φ,

∂x =

=

ρ

(

cos2 φ+sin2

φ)

ρ