Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Дифференцируя еще раз первое из этих равенств по х, а второе по у и складывая, получим:

∂2

(ln

f ( x, y)

∂2

(ln

f (x, y)

) =

(ln

f (x, y)

) =

∂x

∂y

1 ∂R

∂2 R

∂R

1 ∂2 R

= −

−

2 .

∂x

∂y

R ∂y

Опять-таки в силу (3.3) запишем это равенство в виде

(ln

f (x, y)

) = −

∂Φ

∂2 R

∂Φ 2

−

Соотношение

∂y

∂x

∂y

∂x

∂2 R

∂Φ 2

= R

∂x

∂y

∂x

∂y

непосредственно вытекает из условий Коши–Римана (3.3). Откуда и получим (ln f (x, y) ) = 0 , что означает гармоничность функции ln f ( x, y) .

Пример № 3.7 ([3], № 1.165). Найти аналитическую функцию

f (z) = u + iυ

по

заданной

её

действительной

части

u = x2 − y2 +5x + y −

x2 + y2

Решение.

∂u

= 2x +5 +

2 yx

∂υ

(по условию Коши–

∂x

(x2 + y2 )2

∂y

Римана) υ = ∫

∂υdy +C(x) = 2xy +5y −

+C(x) .

+ y

∂y

В то же время,

∂υ

∂u

x2 + y2 − x 2x

′

= −

∂y 2y −

+C (x) =

∂x

(x2 + y2 )2

= 2 y −1+		x2 + y2 −2 y2		C′(x) = −1;
= 2 y −1+		(x2 + y2 )2		C′(x) = −1;
		C( x) = −x + const .
Таким образом,					y2
f (z) =u +iυ= x2 − y2 +5x + y −					y2	+
f (z) =u +iυ= x2 − y2 +5x + y −					x2 + y2	+
					x2 + y2
+i 2xy +5y −	x		− x +const = z2 +5z −iz −				i	+Ci
+i 2xy +5y −	x2 + y2		− x +const = z2 +5z −iz −				i	+Ci
	x2 + y2						z

(С – произвольная действительная постоянная).

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

3.1 ([3], № 1.131 (zn, ez)); 3.2 ([3], № 1.132 (1)); 3.4 ([3], № 1.135); 3.5 ([3], № 1.139); 3.7 ([3], № 1.165).

Резерв:

3.1 ( Ln z ); 3.3 ([3], № 1.133); 3.6 ([3], № 1.156, частично), [3], № 1.137, № 1.166.

Для самостоятельной работы дома:

3.1 ([3], № 1.131 (cos z)); 3.2 ([3], № 1.132 (2)); [3], № 1.138, № 1.167.

4. Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДН ОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМ НЫЕ ОТОБРА ЖЕНИЯ

Из определения производной функции w = f (z)

w′ = f ′(z) = lim	w	= lim	w	e	iarg	w	=
					iarg	w
						z
z→0	z	z→0	z

= lim	w	e	i(arg w−arg z)


	z
z→0

получаем, что модуль производной lim	w	= k есть коэффициент
z→0	z
сжатия–растяжения, производимого функцией w = f ( z)				в точке z ,
а аргу мент производной arg f ′(z) = lim (arg		w −arg	z)	– угол по-
z→0
ворота любого направления, задаваемого вектором			z ,	исходящим

из точки z , при ото	бражении его в направлении вектора w в
плоскости w (рис. 4.1	, 4.2).

Ри . 4.1	Рис. 4.2
Если производная функции	f (z) в точке z существует и от-

лична от нуля, то отображение, осуществляемое ею, взаимно однозначно и характеризуется сохранением углов (включая их направление) и постоянством растяжений по всем направлениям, исходящим из этой точки. В этом случае отображение w = f (z) называет-

ся ко формным.

Пример 4.1 ([3], № 1.187). Отображение совершается с помо-

щью функций w = z2

и w = z3 . Найти угол поворота θ

направле-

ния, выходящего из точки z0 ,

и коэффициент растяжения k в этой

точке: z0 =1.

Решение.

Для

функции

w = z2

производная

w′ = 2z

θ = arg 2 = 0 ;

k =

= 2 ;

для функции

w = z3 производная

w′=3z2 в точке z

θ = arg 3 = 0 ;

k =

= 3 .

= −3 +4i ; для функции w = z2 ; w′ = 2z .

точке

z0 = −3 +4i

′

= −6 +8i

θ = arg w′ =

π − arctg

;

k =

w′

36 +64 =10 ; для функции w = z3 ;

w′=3z2 .

В точке z0 = −3 +4i

w′ = 3(−3 + 4i)2 = 3(9 − 24i −16) = −21 −72i

θ = arg w′ = −π+arctg 7221 = −π+arctg 247 ; k = w′ = 212 +722 = 75 .

Пример 4.2 ([3], № 1.188). Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение осуществляется функцией:

w = z2 ;

2) w = z2 +2z ;

3) w =

;

4) w =ez .

Решение.

w′ = 2z ;

растяжение при

k =

w′

>1 ;

>1;

>1 –

внешность единичного круга с центром в начале координат; сжатие

–внутри этого круга;

2)w = z2 +2z ; w′ = 2z + 2 ; сжатие в точках 2 z +1 <1 – внутрен-

ность круга с центром в точке	z = −1	радиуса 1 ; растяжение –
	0	2
вне этого круга;		2
вне этого круга;

′

< 1 ;

3) w = z

;

= −

; сжатие при

<1;

– внеш-

ность единичного круга с центром в начале координат. Растяжение

– вне этого круга;

4) w =ez ; w′=ez =ex eiy ; k = w′ = ex . Сжатие в области ex <1;

то есть в полуплоскости x < 0 ; растяжение в полуплоскости x > 0 . Пример 4.3 ([3], № 1.189). Область G отображается с помощью

функции w = f (z) конформно на область G′.

1.Указать формулы для вычисления площади S области G′ и длины L дуги, на которую отображается некоторая дуга l , принадлежащая области G .

2. Найти длину L спирали, на которую с помощью функции w =ez отображается отрезок y = x ; 0 ≤ x ≤ 2π .

Решение.

1. Пусть w = f (z) = u( x, y) + iυ( x, y) , что соответствует переходу от плоскости двух действительных переменных (x, y) к плоскости двух действительных переменных (u,υ) , где u и υ заданные функ-

ции переменных х и у. Конформность отображения предполагает его взаимоднозначность, при которой площадь

S = ∫∫dudυ =∫∫

D(u,υ)

dxdy ,

D(x, y)

G′

∂u ∂υ

D(u,υ)

∂u

∂υ

∂u

где

∂x ∂x

−

– якобиан преобразования

D(x, y)

∂u ∂υ

∂y

∂x

∂y ∂y

при переходе от переменных (x, y) к переменным (u,υ) . Так как отображение конформно, то функция w = f (z) аналитична, и вы-

полняются условия Коши–Римана:

∂∂ux = ∂∂yυ ; ∂∂uy = −∂∂υx ,

откуда получаем

Источник: https://studfile.net/preview/16708793/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27