Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Смотрите также:

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

∫∫

∂u 2

∂υ 2

∫∫

′

S =

∂x

dxdy =

(z)

dxdy .

Аналогично вычисляется длина дуги l , заданной параметриче-

ски, например: x = x(t) ,

y = y(t),

l = ∫ x′(t)2 + y′(t)2 dt .

При переходе к переменным u = u(x, y) , υ = υ(x, y) :

L = ∫ u′(t)2 +υ'(t)2 dt =

∂u

x′(t) +

∂u

∂υ

x′(t)

∂υ

y′(t)

dt =

= ∫

∂x

∂y

y′(t)

∂x

∂y

∂u 2

∂u

= ∫

x′(t)

∂x

∂y

x′(t) y′(t) +

∂y

y′(t)

∂x

∂u 2

−2

∂u

∂y

∂u 2

x′(t)

∂y

∂x

x′(t) y′(t) +

y′(t)

∂y

∂x

∂u 2

∂υ 2

′

∂u 2

∂υ 2 ′

dt =

∫

x (t)

y (t)

∂x

= ∫

f ′(z)

x′(t)2 + y′(t)2 dt .

2. Так как отрезок целиком лежит в полосе однолистности функции, то применима формула для L , полученная выше:

f ′(z) = ez = ex eiy ; f ′(z) = ex .

Примем за параметр переменную x. Тогда

2π

x′ =1; y′ =1 L = ∫ ex 2dx = 2(e2π −1) ,

y = x отображается в спираль (рис. 4.3):

ρ = ex ;	ϕ = y ρ = eϕ (логарифмическая
спираль).
Пр имер 4.4		([3],	№ 1.191). Найти пло-
щадь области,		на	которую с пом ощью
функ ции	ez отображ ается прямоугольник			Рис. 4.3
1 ≤ x ≤ 2;	0 ≤ y ≤ 4 (ри с. 4.4).

Рис. 4.4	Рис. 4.5
Решение.	w = u +iυ = ez = ex eiy = ex (cos y +i sin y)

u = ex cos y ; υ = ex sin y .

Граница прямоугольника отображается в границу области в плоскости w :

1) {y = 0,1≤ x ≤ 2} {υ= 0;1≤ ue2} ;

2)	{x = 2, 0 ≤ y ≤ 4} {u = e2 cos y; υ= e2 sin y} u2 +υ2 = e4 –
окруж ность;		– отрезок луча u = ctg 4 ;
3)	{y = 4; 1 ≤ x ≤ 2}	– отрезок луча u = ctg 4 ;
	{x =1; 0 ≤ y ≤ 4} ; u = e cos y ;			υ
4)	{x =1; 0 ≤ y ≤ 4} ; u = e cos y ;			υ = esin y ; u2 +υ2 = e2 , окруж-
ность радиуса e (рис.		4.5).
Искомая площадь равна
	S = ∫∫ dudυ = ∫∫		f ′(z)	2 dxdy = ∫∫e2xdxdy =


	G′	G		G

Пример 4.5 ([3], № 2.1). Найти целую линейную функцию (т.е. функцию вида w = az +b , где a и b комплексные постоянные), отображающую треугольник с вершинами в точках 0 , 1, i на подобный ему треугольник с вершинами 0 , 2 , 1 + i (рис. 4.6 и 4.7).

Решение. В соответствии с геометрическим смыслом преобразования, осуществляемого линейной функцией, точка z = 0 (вершина прямого угла треугольника в плоскости z ) переходит в точку w =1 + i (вершина прямого угла образа этого треугольника в плоскости w ): 1 + i = a 0 +b b =1 +i .

Вершина z = i переходит в вершину w = 2 2 = a i +1 + i ; ai =1 − i ; a = −i −1 w = (1+i)(1− z) .

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Пример 4.6 ([3], № 2.6). Найти целую линейную функцию w (z), отображающую полосу, заключенную между прямыми х = а

и x = a + h на полосу 0 < u <1 при указанной нормировке: w (a) = 0 .

Решение. В силу принципа соответствия границ при конформном отображении, граница исходной области переходит в границу отображения этой области. Чтобы внутренность исходной области переходила во внутренность отображения, дается условие, в данном случае w (a) = 0 .

Общий вид целой линейной функции w = cz + d . Пусть прямая х = а переходит в прямую u = 0 , тогда iυ = c (a +iy) + d .

Прямая x = a + h переходит в прямую u =1 , тогда

1 +iυ = c (a + h +iy) + d 1 = ch c = h1 w = h1 z + d .

Используем условие w (a) = 0 :

0 = h1 a + d d = − ah w = h1 (z − a ) .

Пример 4.7 ([3], № 2.7). Найти целую линейную функцию, отображающую круг z < 1 на круг w − w0 < R так, чтобы центры

кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол α.

Решение. По смыслу линейного преобразования, изменим диаметр круга с 1 на R преобразованием w1 = Rzeiα, сохранив центр

круга в начале координат и повернув горизонтальный диаметр на угол α против часовой стрелки. Затем осуществим преобразование параллельного переноса так, чтобы центр круга z = 0 перешел в

центр круга w = w0 : w2 = w1 + w0 . Окончательно: w = eiαRz + w0 .

Пример 4.8 ([3], № 2.8). Для функции w = 1z найти образы сле-

дующих линий: 1) семейства окружностей x2 + y2 = ax ; 3) пучка параллельных прямых y = x +b ; 6) параболы y = x2 .

Решение.

1) Найдем образ семейства окружностей x2 + y2 = ax : w = 1z = x +1iy = xx2 −+iyy2 = xax−iy = 1a − axiy .

Так как точка z = 0 принадлежит всем окружностям семейства, а она переходит в точку w = ∞ , то все окружности этого семейства переходят в прямые, параллельные мнимой оси в плоскости w , то

есть u = 1a (сама мнимая ось не входит в это семейство). 3) Найдем образ пучка параллельных прямых y = x +b :

функцией w =

w =

x −i(x +b)

;

x +i(x +b)

x2 +(x +b)2

u =

x +b

; υ

= −

x2 +(x +b)2

u2 +υ2 =

(x +b)2

x2 +(x +b)2

x2 +(x

+b)2 2

2 +υ2 =

;

(x +b)2

в то же время

u2 +υ2 = −u +υ

u +υ = −

x2 +(x +b)2

или

1 2

– семейство окружностей с центром в точке			u = −	1	,	υ= −	1	ра-
				2b			2b
	1
диуса		(b ≠ 0) . При b = 0 прямая y = x	переходит в прямую
	2 b

υ= −u .

6)Найдем образ параболы y = x2 :

w =

x −ix2

; u =

;

x +ix2

+ x4

x(1+ x2 )

υ= −	x2	= −	1	u2 =	1	= −	υ3	.
	x2 + x4		+ x2		x2 (1+ x2 )2
		1					1+υ

Пример 4.9 ([3], № 2.11). Во что преобразуется первая четверть

плоскости z при отображении, осуществляемом дробно-линейной

z −i . z + i

Решение. По свойствам дробно-линейной функции ни одна точка первой четверти и ее границы не переходит в точку w = ∞ (так

Источник: https://studfile.net/preview/16708793/

(e4 −e2 ) .

∫e2xdydx = 4 ∫e2xdx = 4




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27