Материал: Модели и алгоритмы проектирования и разработки систем поддержки принятия инвестиционных решений. Морозов В.П., Баркалов С.А

РАЗДЕЛ 2 МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗАИНВЕСТИЦИЙ

И ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1. Модель Марковица

Модель Марковица определяет набор эффективных портфелей, обеспечивающих наибольшие ожидаемые доходности для определенных уровней риска

[13].Данная модель имеет ряд специфических особенностей (ограничений).

1.Инвестирование в рамках данной модели рассматривается как однопериодный процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется [55].

2.Считается, что рынок ценных бумаг является эффективным. Это означает, что изменение информации о состоянии внешней среды (информации о политической ситуации, данных об экономической обстановке и др.) практически мгновенно отражается на котировках ценных бумаг [51].

3.Предполагается, что значения доходности ЦБ являются случайными величинами, распределенными по нормальномузакону. Поэтомупри формировании портфеля достаточно учитывать два показателя: ожидаемую доходность r и стандартное отклонение σ как меру риска (только эти два показателя определяют плотностьвероятностислучайныхчисел принормальномраспределении) [55].

4.Модель позволяет определить набор эффективных портфелей [22]. Применительно к последнему ограничению на основе геометрической

интерпретации данной модели может быть показано существование единственного оптимального портфеля, что имеет практическое значение для инвестора и подтверждает целесообразность применения данной модели в СППИР. Рассмотрим доказательство данного утверждения.

Для каждого финансового портфеля инвестор задает функцию полезности U(σ,r), аргументами которой являются ожидаемая доходность r и риск σ. В качестве риска, как правило, выступает стандартное отклонение r [55]. В процессе своей инвестиционной деятельности инвестор стремится максимизировать функцию полезности U ,r max. С математической точки зрения это эквива-

лентно решению уравнения вида U ,r C. Решения {r (σ)} данного уравнения

представляют собой линии уровня функции U. В литературе [19] линии уровня называют кривыми безразличия (indifference curves). Функция полезности обладает рядом свойств:

1)нерасположенность к риску U ` ,r 0 ;

2)ненасыщаемость U ` ,r 0;

3)выпуклость.

На рис. 2.1 представлен вид линий уровня функции полезности вида a2r b2 r2 2 . Стрелкой отмечено направление возрастания функцииполезности.

Портфель П с ожидаемой доходностью ~r и риском ~ является оптимальным, если на множестве допустимых портфелей П для него функция полезности

46

достигает максимума U~ ~,~r max . Данное утверждение может быть сформулировановвидеследующейтеоремы[177].

r

a

b

Рис. 2.1. Линии уровня функции полезности

Теорема 1. Оптимальный портфель находится в точке П касания области Е эффективного множества портфелей с определенной кривой безразличия.

Доказательство. На рис. 2.2 приведены кривые безразличия и область эффективного множества портфелей.

r

a

b

E

l2 П

F l1

Рис. 2.2. Кривые безразличия и область эффективного множества портфелей

Если область эффективного множества портфелей Е пересекается с кривой безразличия l1, то существуют допустимые портфели, лежащие выше и ле-

вее кривой l1, для которых значение функции полезности будет больше, чем на

самой кривой или ниже её. Следовательно, оптимальный портфель лежит левее и выше линии уровня l1, пересекающей область Е.

Рассмотрим произвольную линию уровня l2, лежащую левее и выше области Е. Значения функции полезности на линии уровня l2больше, чем на линии уровня l1. Однако, как видно из рисунка, на ней не лежит ни одного

портфеля (она не имеет точек пересечения с областью эффективного множества портфелей Е). Следует предположить, что оптимальный портфель находится

47

правее и ниже l2. А это есть точка касания П , что и требовалось доказать.

Важным инструментом в рамках практической реализации данной модели являются безрисковые активы. Они существенным образом влияют на множество эффективных портфелей. Представим на координатной плоскости (риск– доходность - (σ,r)) множество эффективных портфелей Еr (рис. 2.3).

r

Еr

Т

F

Рис. 2.3. Эффективные портфели и безрисковая ЦБ

Они состоят только из рисковых ЦБ А1,…,Аn. Пусть существует безрисковый актив F=(0, rF). Поскольку множество Еr вогнуто, то существует не более одной касательной к Еr, проходящей через точку F. Если касательная существует, то обозначим ее l, а точку касания – Т. Портфель, соответствующий точке Т, будем называть касательнымпортфелем.

Теорема 2. Луч [FT) является множеством эффективных портфелей, включающих бумаги F, А1,…,Аn.

Доказательство. Рассмотрим множество допустимых портфелей вида

П=v0F+v1A1+…+vnAn, vi 0 при i 1 и v0+v1+…+vn=1. Среди них есть портфель

Пr, который включает лишь рисковые бумаги А1,…,Аn. Доли рисковых бумаг в данном портфеле повторяют доли портфеля П. Если предположить, что v0<1, то

Уравнения (2.2) являются параметрическими. Они задают на плоскости ( ,r) луч. Значит, портфель Пr принадлежит лучу [FПr). Отсюда следует, что портфель П, который включает бумаги F, А1,…,Аn, является допустимым лишь в том случае, если существует портфель Пr (по определению он состоит только из рисковых бумаг) такой, что П [FПr). Таким образом, портфели, принадлежащие [FT), являются допустимыми, поскольку Т является допустимым портфелем, состоящим только из рисковых бумаг.

48

Допустим, что портфель П0=( П0 ,rП0 ) [FT) эффективным не является.

Тогда следует предположить, что существует такой портфель П1 П0, для которого П1 П0 и rП1 rП0 . Это значит, что П1 находится левее и выше луча [FT).

С учетом вышеприведенного доказательства существует такой портфель П2, содержащий рисковые бумаги, что П1 [FП2). Но луч [FП2) находится левее и выше луча [FT), а значит, не пересекает множество допустимых портфелей, что неверно. Значит, верно первое предположение, что и требовалось доказать.

В рамках реализации данной модели на практике важно обоснование того факта, что,несмотряна общие подходы кформированиюпортфелей, результаты у инвесторов (формируемые портфели) оказываются независимыми. В связи с этим рассмотрим теорему о независимости комбинаций рисковых активов в портфеле приодинаковойоценкеинвесторамирисковиожидаемыхдоходностей.

Теорема 3. Пусть инвесторы одинаково оценивают риски и ожидаемые доходности. Тогда оптимальная для инвестора комбинация рисковых активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 все инвесторы сформируют портфель:

П=v0jF+(1- v0j)T,

где F – безрисковая бумага, Т – касательный портфель, v0j – доля капитала j-го инвестора, вложенная в безрисковый актив. Поскольку рисковая часть проекта содержит касательный проект Т, то это значит, что доля вложений в произвольную рисковую бумагу по отношению к рисковой части портфеля не зависит от предпочтений инвестора, несмотря на различные доли v0j. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы 3 не следует, что инвесторы сформируют один и тот же портфель. Чем больше инвестор не хочет рисковать, тем ниже на луче [FT) расположен его оптимальный портфель. Поэтому портфели будут различными.

Таким образом, алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица, представляет собой выполнение следующей последовательности действий:

Шаг 1. Построение множества допустимых портфелей.

Шаг 2. Выделение эффективных портфелей на множестве допустимых. Шаг 3. Построение кривых безразличия инвестора.

Шаг 4. Выбор кривой безразличия, соприкасающейся с эффективным множеством портфелей.

Шаг 5. Определение точки касания. Оптимальный портфель находится в точке касания. Основные параметры оптимального портфеля (доходность-риск) рассчитываются следующим образом.

49

Ожидаемая доходность будет определяться в соответствии с выражением

где ij - коэффициент корреляции между доходностями ri и rj, i j - рис-

ки i-й и j-й ЦБ.

Рассмотрим пример, демонстрирующий применение геометрического подхода для анализа инвестиционного портфеля.

Пусть рынок ЦБ представлен двумя активами А(0,1;0,1) и В(0,2;0,3) с коэффициентом корреляции взаимных доходностей АВ =0,5. Функция полезности

портфеля инвестора имеет вид U( ,r)=0,6r – r2 - 2 .

Необходимо найти параметры оптимального инвестиционного портфеля. Параметрические уравнения расчета доходности и риска допустимых

Точка касания линии уровня функции U( ,r) и множества допустимых портфелей является точкой размещения оптимального портфеля П .

Касательная к множеству допустимых портфелей в точке П= tA+(1-t)B будет рассчитываться как

50